Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
應該對吧左邊到右邊:given v屬於ker(T)=ker(T^2)=>T(v)=T^2(v)=0向量=>(T-T^2)(v)=0向量,for all v所以T=T^2右邊到左邊:given v屬於ker(T^2)=>T(v^2)=0因為T=T^2所以T^2(v)=T(v)=0=>v屬於ker(T)所以ker(T)包含ker(T^2)然後用kernel chain: ker(T^2)包含ker(T)所以ker(T)=ker(T^2)不知道這樣證有沒有問題..= =
左邊到右邊、若v為0、T-T^2就未必是0了？右邊到左邊是trivial我了解。感謝您。
因為for all v所以T-T^2=0 我記得課本都是這樣證的 XD
月戀說的沒錯v有個條件 就是不能為0 有0就81了即便根據slvester定理dim(v)=dim(ker(T))+dim(Im(T))我們知ker(T)=0的話可以保證Im(T)被生成而且又是方陣假設 2維to 2維可以知道R(T)=R(T^2)=R^2不過即便是這樣 還是沒有辦法證出T^2=T舉例11122223ker(A)都一樣 R^2也一樣但是你能說他們相等嗎?以上淺見
恩、所以結論應該算對還是算錯呢？以空間的角度來看、必定含0，所以是不對的囉？
感謝糾正那我證的是錯的 考慮到的不夠周全..翻了一下書 發現書裡面有注意事項5-31 假設T^2=T 則Im(T^2)=Im(T) 反之未必成立 也有舉反例
(<=)是trivial, 但(=>)不會成立要找反例往可逆函數的方向找很好找或者比方說取 T:R^2=>R^2, T(x,y) = (0,x-y)=> (T^2)(x,y) = (0,y-x)=> Ker(T) = Ker(T^2) = span{(1,1)} 但 T≠T^2
OK、感謝助教與所有人！
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應該對吧
左邊到右邊:
given v屬於ker(T)=ker(T^2)
=>T(v)=T^2(v)=0向量
=>(T-T^2)(v)=0向量,for all v
所以T=T^2
右邊到左邊:
given v屬於ker(T^2)
=>T(v^2)=0
因為T=T^2
所以T^2(v)=T(v)=0
=>v屬於ker(T)
所以ker(T)包含ker(T^2)
然後用kernel chain: ker(T^2)包含ker(T)
所以ker(T)=ker(T^2)
不知道這樣證有沒有問題..= =
左邊到右邊、若v為0、T-T^2就未必是0了？
右邊到左邊是trivial我了解。
感謝您。
因為for all v
所以T-T^2=0 我記得課本都是這樣證的 XD
月戀說的沒錯
v有個條件
就是不能為0 有0就81了
即便根據slvester定理
dim(v)=dim(ker(T))+dim(Im(T))
我們知ker(T)=0的話
可以保證Im(T)被生成
而且又是方陣
假設 2維to 2維
可以知道
R(T)=R(T^2)=R^2
不過即便是這樣 還是沒有辦法證出
T^2=T
舉例
11
12
22
23
ker(A)都一樣 R^2也一樣
但是你能說他們相等嗎?
以上淺見
恩、所以結論應該算對還是算錯呢？以空間的角度來看、必定含0，所以是不對的囉？
感謝糾正
那我證的是錯的 考慮到的不夠周全..
翻了一下書 發現書裡面有
注意事項5-31 假設T^2=T 則Im(T^2)=Im(T) 反之未必成立 也有舉反例
(<=)是trivial, 但(=>)不會成立
要找反例往可逆函數的方向找很好找
或者比方說取 T:R^2=>R^2,
T(x,y) = (0,x-y)
=> (T^2)(x,y) = (0,y-x)
=> Ker(T) = Ker(T^2) = span{(1,1)} 但 T≠T^2
OK、感謝助教與所有人！
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