p.4-154第9題的一些類似觀念
請問以這題來講
因為解答上面寫說N(A)為R^7的三維子空間
所以N(A)=span{v1,v2,v3} 然後v1,v2,v3屬於R^7
這樣寫是正確的嗎?
那...向量形式為(a,b,c,0,0,0,0) or (0,a,0,b,0,c,0)這種向量有關係嗎?
還是這種向量只是所謂span{v1,v2,v3}裡的其中一型而已?
至於R(A)=R^4是對的 是因為行向量均屬於R^4而且他剛好維度為4嗎?
還有一點是
像同樣這章的第13題
是因為剛好rank(A)=m
然後他剛好給一個b屬於R^3(R^m)所以對於這個b有無線多解嗎?
想請問如果b不屬於R^m為無解是什麼意思(以此題為例m=3)
是指說b=(1,2,3,4)屬於R^4這種形式嗎?
老師上課說的b沒有躺在平面上是指這種狀況嗎?
那這樣的話我們一般解線性系統的無解
rank(A) != rank(A|b)
是指b屬於R^m但是rank(A) != m這種狀況嗎?
這種的幾何意義是什麼呢?
抱歉問題有點雜亂，麻煩助教了
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第4-9題
你理解得差不多了, 這邊重點大致上就是, 一個三維空間, 和一個向量是從 R^3 裡取出來的空間, 意思是完全不一樣的, 不過有關(a,b,c,0,0,0,0)的那個問題我看不太懂, 至於 R(A)=R^4 這裡你的觀念也沒問題, 想法就跟下面那一題一樣
第4-13題
1. 只要 rank<n, 那 Ax=b 如果有解的話, 就一定會有無限多組解, 因為 nullspace 的維度至少是1, 這個用齊次解的觀念很好理解 (假設 Ax=b, Ay=0, y≠0, 則 A(x+αy)=b, for all α∈R)
2. 會有無解的情況發生, 就代表存在一個 b∈R^m, b∉R(A), 也就是說 A 的行空間不生成 R^m, 另外, 不管 rank 是否等於 m, rank(A) != rank(A|b) 指的就是存在有 b∈R^m, b∉R(A) 的情形發生; 再回來看這題, 因為這裡 A 的 rank 為 5-2=3 有達到 m, 所以行生成, 所以 Ax=b 必定有解, for all b∈R^m
所以由(1),(2)可知 given any b∈R^3, Ax=b has infinitely many solutions
謝謝助教
那個(a,b,c,0,0,0,0)問題是想問說
在R^7的三維子空間的向量是都長這樣嗎?
想說那個三維子空間跟這種向量有沒有關係
不過想一想這種向量應該只是span{v1,v2,v3},v1,v2,v3屬於R^7
的其中一型而已吧@@?
因為有可能
v1={1,1,0,0,0,0,0}
v2=(0,0,1,1,0,0,0)
v3={0,0,0,0,1,1,1}
這樣span出來的空間裡，向量形式就不會是上面所提的(a,b,c,0,0,0,0)
我這樣理解是對的嗎XD
非常謝謝助教
應該沒問題的, 你只要注意不要把兩個不相干的東西混為一談就好了, R^7 中任取 3 個線性獨立的向量都可以生成一個 R^7 的 subspace, 其維度為 3, R^3 同理也是任取 3 個線性獨立的向量都可以生成一個 R^3 的 subspace, 而即使兩個空間的維度都是 3, 但 R^3 的 subspace 和 R^7 的 subspace 是完全沒有關係的, 它們分別包含於不同的向量空間, 一個是牛一個是馬這樣
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