Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
一般 D_n 都從 n=1 開始設初始條件, 這裡因為 a_n=D_n-nD_(n-1), 考慮D_(n-1)的話, n-1只少要是1, 那麼 n 至少要是 2, 所以 n>=2, 這邊只是把 a_2 又獨立出來寫在後面而已如果覺得直接用代入法很麻煩, 你也可以考慮用5-4所提的轉換法求解:D_n - nD_(n-1) = (-1)^n=> D_n/n! - D_(n-1)/(n-1)! = (-1)^n/n!令 A_n = D_n/n!, n>=1則 A_n = A_(n-1) + (-1)^n/n!= A_(n-2) + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!= ...= A_1 + ... + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!= 0 + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!所以 D_n = n!*A_n= n!*(1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!)這樣寫雖然意思上差不多, 但字數感覺上會少一些
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一般 D_n 都從 n=1 開始設初始條件, 這裡因為 a_n=D_n-nD_(n-1), 考慮D_(n-1)的話, n-1只少要是1, 那麼 n 至少要是 2, 所以 n>=2, 這邊只是把 a_2 又獨立出來寫在後面而已
如果覺得直接用代入法很麻煩, 你也可以考慮用5-4所提的轉換法求解:
D_n - nD_(n-1) = (-1)^n
=> D_n/n! - D_(n-1)/(n-1)! = (-1)^n/n!
令 A_n = D_n/n!, n>=1
則 A_n = A_(n-1) + (-1)^n/n!
= A_(n-2) + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!
= ...
= A_1 + ... + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!
= 0 + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!
所以 D_n = n!*A_n
= n!*(1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!)
這樣寫雖然意思上差不多, 但字數感覺上會少一些
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