餘數相關疑問

在課本1-3節中例題43 的(e)小題中提到 if (a mod m) = (b mod m) then (a mod 2m) = (b mod 2m)
雖然解答中已經有提出反例，但平常在做計算時一定不會馬上想出反例，於是就會用定意趣推倒
在此推導有幾個疑惑我的推倒如下

a = b + km <==針對第一個
a = b + k(2m) <===第二個
在觀察上面因為這是錯誤的，原因是否是因為第二個多了一個2，而會錯的原因是 k可能是奇數，
所以從這點可以判斷這個條件是是錯誤的，是這樣判斷嗎??
我主要意思是是否可以從定理上來解釋題目是錯誤的呢??