Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
這一題直接用列運算應該還可以算, 另一種作法就是用eigenvalue表現定理, 可以參考題庫班講義4-56東華應數那一題的作法首先很容易算出rank(A) = 2=> nullity(A - 0I) = 3所以A中eigenvalue 0至少出現3次因此A還有二個eigenvalue, 假設為a, b取W = span{v1 = (1,1,1,1,1)^T, v2 = (1,2,3,4,5)^T}A(v1) = -10(v1) + 25(v2)A(v2) = -20(v1) + 75(v2)取B = {v1, v2}為W的基底將A視為函數, 定義域縮小到W得到矩陣表示法如下-10 25-20 75它的行列式為-250, 此即為A的另外二個eigenvalue的乘積, 即ab = -250根據eigenvalue表現定理, (A - I)的eigenvalue為-1, -1, -1, a-1, b-1det(A-I)=(-1)(-1)(-1)(a-1)(b-1)=-(a-1)(b-1) = -ab + (a + b) - 1= 250 + tr(A) - 1= 250 + 65 - 1 = 314
想請問一下取W = span{v1 = (1,1,1,1,1)^T, v2 = (1,2,3,4,5)^T}這邊是怎麼看出來的??
其實這二個eigenvectors就像當年東華應數及海大資工的考題都有給hint, 所以這種作法應該有看過才會這樣用, 所以我傾向於這題直接列運算作, 因為只是算行列式, 應該還ok
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這一題直接用列運算應該還可以算, 另一種作法就是用eigenvalue表現定理, 可以參考題庫班講義4-56東華應數那一題的作法
首先很容易算出rank(A) = 2
=> nullity(A - 0I) = 3
所以A中eigenvalue 0至少出現3次
因此A還有二個eigenvalue, 假設為a, b
取W = span{v1 = (1,1,1,1,1)^T,
v2 = (1,2,3,4,5)^T}
A(v1) = -10(v1) + 25(v2)
A(v2) = -20(v1) + 75(v2)
取B = {v1, v2}為W的基底
將A視為函數, 定義域縮小到W得到矩陣表示法如下
-10 25
-20 75
它的行列式為-250, 此即為A的另外二個eigenvalue的乘積, 即ab = -250
根據eigenvalue表現定理, (A - I)的eigenvalue為-1, -1, -1, a-1, b-1
det(A-I)=(-1)(-1)(-1)(a-1)(b-1)
=-(a-1)(b-1) = -ab + (a + b) - 1
= 250 + tr(A) - 1
= 250 + 65 - 1 = 314
想請問一下取
W = span{v1 = (1,1,1,1,1)^T,
v2 = (1,2,3,4,5)^T}
這邊是怎麼看出來的??
其實這二個eigenvectors就像當年東華應數及海大資工的考題都有給hint, 所以這種作法應該有看過才會這樣用, 所以我傾向於這題直接列運算作, 因為只是算行列式, 應該還ok
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