Give a complete graph Kn of n distinct vertices, (a)determine the number of complete subgraphs Kn-1(of n-1 vertices) that the complete graph Kn contains.
(b)determine the number of complete subgraphs Km(of m vertices) that the complete graph Kn contains.(m<=n)
請問一下這兩題答案是
(a) 我的想法:
Kn 每扣掉一個點 就會有一個Kn-1 所以 會有 n 個Kn-1
(b)
我的法想 最少m=1
1<=Km<=n
不知道我這樣對不對
希望高手能夠指導我一下
2010-01-31
2010-01-30
[離散]D_n的遞迴式
請問亂序的遞迴式D_n的推導要怎樣討論比較好理解記憶呢 ?
如果觀察1來看
1放在i!=1的位置 則有n-1個選擇
剩下的n-1個數再做亂序為D_n-1(這個好像是i不能放1在的情形)
再考慮1放在i 且i放在1的情形 則剩下的n-2個數亂序為D_n-2
全部情形為 Dn=(n-1)(D_n-1 + D_n-2)
去討論i放不放1的情形 感覺不是那麼直觀耶...
請問有比較好理解的方式嗎 ?
因為有時候沒想清楚 會直接寫成D_n = (n-1)D_n-1
如果觀察1來看
1放在i!=1的位置 則有n-1個選擇
剩下的n-1個數再做亂序為D_n-1(這個好像是i不能放1在的情形)
再考慮1放在i 且i放在1的情形 則剩下的n-2個數亂序為D_n-2
全部情形為 Dn=(n-1)(D_n-1 + D_n-2)
去討論i放不放1的情形 感覺不是那麼直觀耶...
請問有比較好理解的方式嗎 ?
因為有時候沒想清楚 會直接寫成D_n = (n-1)D_n-1
2010-01-24
2010-01-23
2010-01-22
四大空間的orthogonal basis
(a) Find the SVD of A =
┌3 2 2┐
└2 3 -2┘
(b) Use (a) to find an orthogonal basis for each of the four subspaces
R(A), C(A), N(A), and N(A^T)
請問要怎麼使用SVD 去找 四大空間的orthogonal basis
完全沒有頭緒
┌3 2 2┐
└2 3 -2┘
(b) Use (a) to find an orthogonal basis for each of the four subspaces
R(A), C(A), N(A), and N(A^T)
請問要怎麼使用SVD 去找 四大空間的orthogonal basis
完全沒有頭緒
線性代數習題7-9(T or F)
Let T be a linear operator on V. If||T(x)||=||x||,then T is onto.
本題的上一題是問one-to-one 很好證(即證Ker(T)={0})
那為什麼one-to-one 加上||T(x)||=||x|| 就可得T為 onto 呢
本題的上一題是問one-to-one 很好證(即證Ker(T)={0})
那為什麼one-to-one 加上||T(x)||=||x|| 就可得T為 onto 呢
Cyclic group
Let G=< a > with 0(a)=n
prove that a^k, k屬於正整數, generates G iff k and n are relatively prime.
請問這要如何證明
謝謝
2010-01-21
2010-01-20
reducible?
f(x)=x^3+x+1 is reducible in R[x] and C[x]
reducible的意思是可以把這個方程式拆成3項1次式的乘積嗎?
也就是 f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d)?
a,b,c,d屬於R or C (若是佈於C)
另外
let A=(0,1). a sequence is represented by Xn=1-1/n,
then the sequence converges to A
數列最後會收斂到 1,而 A的範圍沒包括1所以是 False?
麻煩解答了 謝謝
reducible的意思是可以把這個方程式拆成3項1次式的乘積嗎?
也就是 f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d)?
a,b,c,d屬於R or C (若是佈於C)
另外
let A=(0,1). a sequence is represented by Xn=1-1/n,
then the sequence converges to A
數列最後會收斂到 1,而 A的範圍沒包括1所以是 False?
麻煩解答了 謝謝
[離散] Ordering and ...?
2. 我的想法: 對15作整數分割所有數字可以由{1,2,4,8}組合
那就可以加速之後的服務速度
不太清楚題目要的是不是如此..
3. (a) 我的想法: 字典排序法下最少的比較次數相當於第一次比較即結束, 所以b只要為 {4XXXXX, 5XXXXXX, 6XXXXX} 即可?(b) 我的想法: 因為b>a, 所以只要c贏過b即可, 又c與b第一個分數相同, 所以只要c的第二字比b即可?
(c) 我的想法: 不知道如何下手..
請問上面兩題如何解答、是否如此解? 謝謝
2010-01-19
2010-01-17
Householder
[1 -1]
[-1 1] = A, be the 3*2 matrix.
[1 -1]
Find a matrix H such that HA = R is an upper triangular matrix.
這題由題目可以知道求Householder，也知道可以令 x = [1 -1 1]^T，最後答案求出來是
[√3 -√3]
[ 0 0]
[ 0 0]
但想請問的是：如果題目給的矩陣不像此題恰好只差一個負號，那請問 x 要怎麼令呢？不知道我的問題表達夠不夠清楚..Orz
另外，假設題目給說T(x)=A(x)，求對L之reflect，
L spanned by [4 3]^T，想請問法向量該怎麼令= =？
感謝！
[-1 1] = A, be the 3*2 matrix.
[1 -1]
Find a matrix H such that HA = R is an upper triangular matrix.
這題由題目可以知道求Householder，也知道可以令 x = [1 -1 1]^T，最後答案求出來是
[√3 -√3]
[ 0 0]
[ 0 0]
但想請問的是：如果題目給的矩陣不像此題恰好只差一個負號，那請問 x 要怎麼令呢？不知道我的問題表達夠不夠清楚..Orz
另外，假設題目給說T(x)=A(x)，求對L之reflect，
L spanned by [4 3]^T，想請問法向量該怎麼令= =？
感謝！
2010-01-14
2010-01-13
2010-01-12
2010-01-11
請問正(半)定和正規矩陣的關係
我看老師書上的定義
over C 時 quadratic form 是實係數的矩陣 必為 Hermitian 而 Hermitian就是正規矩陣
over C 時 的正定矩陣的 quadratic form必為實係數 所以為 Hermitian
所以over C 時的正定矩陣必為正規矩陣
over R 時 正定矩陣不一定要Symmetric(Hermitian)
所以只有Symmetric的正定矩陣是正規矩陣是嗎 ?(重點在於它Symmetric)
還是有什麼詳細一點的說法來判定正(半)定 和正規矩陣之間的關係呢 ?
(當然T*T=TT*是最基本的定義 請問有什麼適用在不為Hermitian的正定矩陣的判斷法嗎 ?)
over C 時 quadratic form 是實係數的矩陣 必為 Hermitian 而 Hermitian就是正規矩陣
over C 時 的正定矩陣的 quadratic form必為實係數 所以為 Hermitian
所以over C 時的正定矩陣必為正規矩陣
over R 時 正定矩陣不一定要Symmetric(Hermitian)
所以只有Symmetric的正定矩陣是正規矩陣是嗎 ?(重點在於它Symmetric)
還是有什麼詳細一點的說法來判定正(半)定 和正規矩陣之間的關係呢 ?
(當然T*T=TT*是最基本的定義 請問有什麼適用在不為Hermitian的正定矩陣的判斷法嗎 ?)
2010-01-10
Cayley-Hamilton
請問一下這一題，有點麻煩的算式..不過想問一下求解一定都要拆開嗎？
直接展開再除不是也可以。
求出Pa(x)後除以題目，得到商式： -1-3-5-5-1+8+16+16，餘式：-1+5-4(ie.-A^2+5A-4)
求出來的答案是↓
[47 0 0]
[0 48 -50]
[0 50 48]
但老師給的答案是↓
[7 0 0]
[0 8 -10]
[0 10 8]
麻煩了..感謝
直接展開再除不是也可以。
求出Pa(x)後除以題目，得到商式： -1-3-5-5-1+8+16+16，餘式：-1+5-4(ie.-A^2+5A-4)
求出來的答案是↓
[47 0 0]
[0 48 -50]
[0 50 48]
但老師給的答案是↓
[7 0 0]
[0 8 -10]
[0 10 8]
麻煩了..感謝
2010-01-08
Cayley-Hamilton
0 0 -2
0 1 0 , find e^At
1 0 3
像這種 如果想要用 Cayley-Hamilton + 極小多項式做
特徵方程式 : (X-1)^2 * (X-2)
極小多項式 : (X-1) * (X-2)
令 f(x) = e^xt
因為 極小多項式 可整除 f(x)
所以f(x) = a(X-1) + b
X=1 e^t = b
X=2 e^2t - e^t = a
再帶回 a(A-1I) + bI
這樣對嗎?
另外 我想問的是 如果今天 極小多項式 : (X-1)^2 * (X-2)
那我則要令f(x)= a(X-1) (X-2) + b(X-1) + c
可是 X 只能帶1 和 2
要如何求出 第三個變數?
0 1 0 , find e^At
1 0 3
像這種 如果想要用 Cayley-Hamilton + 極小多項式做
特徵方程式 : (X-1)^2 * (X-2)
極小多項式 : (X-1) * (X-2)
令 f(x) = e^xt
因為 極小多項式 可整除 f(x)
所以f(x) = a(X-1) + b
X=1 e^t = b
X=2 e^2t - e^t = a
再帶回 a(A-1I) + bI
這樣對嗎?
另外 我想問的是 如果今天 極小多項式 : (X-1)^2 * (X-2)
那我則要令f(x)= a(X-1) (X-2) + b(X-1) + c
可是 X 只能帶1 和 2
要如何求出 第三個變數?
2010-01-06
線性代數
一、
A=[2 -3 -6 -4]
[1 5 -3 11]
Consider A, find a particular solution and all the homegeneous solution to Ax=[2 1]^T(直的不好打).想請問這時候的X應該怎麼取比較好求？
二、向量 A=x+y+z 和向量 B=y-z 構成之平面法向量與向量 C=x-2z之夾角為何？
(題目真的是中文..XD) 正常不是會給向量的定義嗎..這樣可以求嗎？
想請問(B)小題應該怎麼解？
另外還想請問，老師的書上有另外多問了一個問題，他是插在(a)小題前面的，題目如下：
Show that there exists a matrix, call C in R^(p*m) with rank(C)=p such that CA=I.
應該是要我們求左反矩陣嘛，可是寫到rank(A)=p，dim(RS(A))=......再來就沒下文了XDD
問題有點多，麻煩了..
A=[2 -3 -6 -4]
[1 5 -3 11]
Consider A, find a particular solution and all the homegeneous solution to Ax=[2 1]^T(直的不好打).想請問這時候的X應該怎麼取比較好求？
二、向量 A=x+y+z 和向量 B=y-z 構成之平面法向量與向量 C=x-2z之夾角為何？
(題目真的是中文..XD) 正常不是會給向量的定義嗎..這樣可以求嗎？
想請問(B)小題應該怎麼解？
另外還想請問，老師的書上有另外多問了一個問題，他是插在(a)小題前面的，題目如下：
Show that there exists a matrix, call C in R^(p*m) with rank(C)=p such that CA=I.
應該是要我們求左反矩陣嘛，可是寫到rank(A)=p，dim(RS(A))=......再來就沒下文了XDD
問題有點多，麻煩了..
2010-01-04
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