Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
不知道對不對 參考看看以rank觀點來看先看AA^T我們知道他rank不會超過4然後欲證I+AA^T 可逆(I+AA^T)x=0 只有0解就是可逆整理一下就變成x=(-AA^T)x而我們知道AA^T的rank不會到4代表AA^T必有一行向量可以被其他行向量生成已行展觀點來看 就知道不只有0解了當然X不只有0解 就不能保證I+AA^T 可逆
如果順著AIdrifter的想法走也可以, 不過後面的推論有些問題得改一下(假設 A 為實矩陣):若 (I+AA^T)x = 0 => (AA^T)x = -x, 因為 AA^T 一定是 positive semi-definite => AA^T 的所有eigenvalue皆為非負 => x=0 (否則矛盾-1不為eigenvalue)所以 I+AA^T 為 nonsingular => I+AA^T 可逆從另個角度來看, 因為 AA^T 為 positive semi-definite, 所以他的所有的eigenvalue都大於或等於0, 那麼 I+AA^T 的所有eigenvalue就都會大於或等於1, 則 I+AA^T 為正定, 所以它確實是一個可逆矩陣
抱歉 我知道我錯在哪了原本定義是Ax=0 判斷X是否只有0解但我那樣寫變成Ax=x 判斷X是否只有0解差蠻多的orz
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不知道對不對 參考看看
以rank觀點來看
先看AA^T
我們知道他rank不會超過4
然後欲證I+AA^T 可逆
(I+AA^T)x=0 只有0解就是可逆
整理一下就變成
x=(-AA^T)x
而我們知道AA^T的rank不會到4
代表AA^T必有一行向量
可以被其他行向量生成
已行展觀點來看 就知道不只有0解了
當然X不只有0解 就不能保證
I+AA^T 可逆
如果順著AIdrifter的想法走也可以, 不過後面的推論有些問題得改一下(假設 A 為實矩陣):
若 (I+AA^T)x = 0 => (AA^T)x = -x,
因為 AA^T 一定是 positive semi-definite
=> AA^T 的所有eigenvalue皆為非負
=> x=0 (否則矛盾-1不為eigenvalue)
所以 I+AA^T 為 nonsingular => I+AA^T 可逆
從另個角度來看, 因為 AA^T 為 positive semi-definite, 所以他的所有的eigenvalue都大於或等於0, 那麼 I+AA^T 的所有eigenvalue就都會大於或等於1, 則 I+AA^T 為正定, 所以它確實是一個可逆矩陣
抱歉 我知道我錯在哪了
原本定義是
Ax=0 判斷X是否只有0解
但我那樣寫變成
Ax=x 判斷X是否只有0解
差蠻多的orz
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