在7-3後面
老師有補上一個
p=A(A^H*A)^-1*A^H
1. CS(P)⊆CS(A)
2. rank(P)=rank(A)
原理是因為將向量投影後 等於用原平面A的乘上X係數 所生的向量嗎?
不太確定所以問一下
在7-4部分
S∩ S垂直 = 1. {0} if 0 ∈s
2. ∅ if 0 ∉ s
這邊搞不懂耶 我想像中是兩個平面
有交集應該是一條線阿 或是平面 不知道為什麼是0向量
然後和if 0有沒有屬於S 好像有不小關係?
<94台科>
w=span{(1,i,0)(2,1,-i)} 求W垂直
我是想到做外積
可是好像不行 答案並不一樣 是不是遇到i要有特殊的外積做法?
<97成大>也是 他給2個4維向量 求X={1,0,3,0}與該W上最近的距離
因為不會做四維外積
我是想說找一個與他們兩個內積都是0的向量
應該就是W垂直
然後在投影到法向量上就是答案
結果算出來有兩個 根本不知道投影到哪一個orz
而且跟老師算法答案感覺差很多
<95中正> 題目說要求proj(N(A))U
印象中老師說公式只能用在R(A)
但是我用N(A)算下去了 答案一樣阿 不過我不是用矩陣算法
我是用正交投影公式
有點搞不懂差異 好像沒差阿...還是我誤會老師的意思?
以上懇請賜教
3 則留言:
1. for all y∈CS(P), there exists x s.t. y=Px=A((A^H*A)^-1*A^H)x, 所以 y∈CS(A => CS(P)⊆CS(A), 因為 A 行獨立, rank(P)=rank(A)
2. 你想像中的那個3維的圖應該不是真的是兩個垂直的平面, 那一個維度的交集是不可能存在的, 譬如我們可以任取一個屬於該一維空間中, 不為零的向量為例, 它自己一定不與自己垂直, 這樣就矛盾它同時屬於兩個垂直的空間了(因為空間垂直的定義就是要符合任兩個從各自空間取出的向量要互相垂直), 而其實在三維空間中, 從維度也很容易看出, 兩個平面其實不可能會互相垂直, 任兩個互相垂直的空間有交集, 那一定會是零空間
3. 外積應該沒問題, 你再驗算看看, 正負號要小心
4. 4維空間中的2維子空間W的補空間, 一定是2維, 所以你用內積為0去算, 算出來一定會有兩個independent取與W垂直的向量作為補空間的basis, 在找到basis之後做正交化, 再把 x 投影在這組orthogonal basis上, 算出來的投影向量就一定會唯一, 則這個向量的長度就會是 x 到 W 的距離
5. 正交投影公式沒有分甚麼R(A)或N(A), 想算出投影在哪個空間中的向量, 就去找那個空間的orthogonal basis
恩 謝謝助教詳盡的答覆 :)
原來垂直定義是自兩空間中
各自取出的向量必須要互相垂直
如果是這樣想當然不可能會有一條線的情況出現
(就算取上面的線 這上面的線取兩向量也只是平行 不可能為orthgonal)
那以前高中學的兩垂直平面
跟這個差異是?
因為印象中有兩法向量垂直的平面
還是因為定義不同
因為以前的定義並沒有說
自兩平面各自取出的向量皆垂直
不太清楚你指的有兩法向量垂直的平面是甚麼意思, 有沒有可能是dependent的向量? 畢竟法向量可以有無限多個
V垂直於W的定義是從V和W中分別取出的向量要互相垂直, 這件事從我們書上定義在內積上的向量空間可以很清楚的描繪出來(p.7-99); 高中時之所以沒有提這樣的觀念, 我想是因為單從幾何上來看這會有點難描繪, 畢竟我們當時沒有定義向量空間, 單從畫圖或是計算, 也都只是在3維的空間中討論, 很難跳脫到4度以上的思維, 所以我們最多只能接受1條線垂直於一個平面, 也就沒有兩個2維以上的空間也可以談相互垂直的概念了
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