題目是
the set {rank(the adjoint of A) A 屬於 R(7*7)} contains ? 個 integers
這題是這樣嗎?
7*7矩陣 rank可能從1到7 .....所以有7個 = =?
另外也問9跟10題...the set {rank(the adjoint of A) A 屬於 R(7*7)} contains ? 個 integers
這題是這樣嗎?
7*7矩陣 rank可能從1到7 .....所以有7個 = =?
麻煩解答了 謝謝
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7. 因為 adj(A) 的 rank 具有以下的性質:
(1) rank(A) = n iff rank(adj(A)) = n
(2) rank(A) = n-1 iff rank(adj(A)) = 1
(3) rank(A) < n-1 iff rank(adj(A)) = 0
所以這題答案是 |{0,1,7}| = 3
9. 令S中式子裡分母那3個絕對值裡的東西分別為r,s,t,
之後解方程式會得到
x=3r+s-5t, y=s-t, z=-2r-s+4t
將算出來的值帶入分子中整理一下, 會得到原式=
(|5r+3s-10t|+|r-s|+|-3r-s+6t|)/(|r|+|s|+|t|)
≦ ((|5|+|1|+|-3|)|r|
+ (|3|+|-1|+|-1|)|s|
+ (|-10|+|0|+|6|)|t|)/(|r|+|s|+|t|)
= (9|r|+5|s|+16|t|)/(|r|+|s|+|t|)
≦16(|r|+|s|+|t|)/(|r|+|s|+|t|) = 16
當 r=s=0 時可得到最大值為 16
10. 可以用Rayleigh Principle的觀念來解, 步驟與第9題有一點點像:
令 S 中的那個式子為 p(x,y,z),
首先可以先把分母作配方,
x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz
= (x+y)^2+(y+z)^2+z^2
= r^2+s^2+t^2 (分別令r,s,t)
解一下r,s,t與x,y,z的關係可得
x = r-s+t, y = s-t, z = t
把結果帶入分子以後再整理一下, 會得到p(x,y,z)=
(4r^2+2s^2+2t^2-4rs+4rt-2st)/(r^2+s^2+t^2)
令 x = [r s t]^t, A =
[4 -2 2;
-2 2 -1;
2 -1 2], 則 P(x,y,z) = (x^t)Ax/(x^t)x,
根據 Rayleigh Principle, 剩下的工作就是把 A 的 eigenvalue 算出來之後取最小的(算出來會是(7-33^(1/2))/2), 就是 p(x,y,z) 的最小值
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