Determine the minimal polynomial of the matrix A and A^-1 (A inverse):
｜0 0 0 1 ｜
｜0 0 1 1 ｜
｜0 -2 0 0｜
｜-2 0 0 0｜
A的極小多項式算出來是：（x^2+2）^2 還滿好算的...
那麼A^-1的極小多項式 跟A的極小多項式有關連嗎？
歷屆解答中A^-1的極小多項式：（x^2+1/2）^2
所以A與A^-1的極多項式有eigenvalue倒數之後，次方相同，的關係嗎？
謝謝
2 則留言:
這樣的推論應該是對的, 如果
m(x) = (x-λ1)^k1...(x-λr)^kr
是 T 的 minimal polynomial, 則令 f(x)=
((1/x)-(1/λ1))^k1...((1/x)-(1/λr))^kr
= (-(x-λ1)/xλ1)^k1...(-(x-λr)/xλr)^kr
= [(-1/xλ1)^k1...(-1/xλr)^kr] * m(x)
=> m(x)|f(x), 那麼因為 m(T) = 0, 所以
f(T) = ((T^-1)-(1/λ1))^k1...((T^-1)-(1/λr))^kr = 0
另外因為這個結果反之亦然, 所以不可能還存在有一個 g(x), 會具有比這個多項式更小的次方數使得 g(T^-1)=0, 否則就會矛盾了 m(x) 是 T 的 minimal polynomial
wynne, 謝謝妳
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