Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
9. 假設f(x) = (x^3 + x + 1), g(x) = x^2 - x - 1因為f(A) = 0, 這題我的想法是找h1(x), h2(x)使得h1(x)*f(x) + h2(x)*g(x) = 1=> h2(A)*g(A) = I=> g(A)^-1 = h2(A)至於要怎麼求h1(x)和h2(x)就用和Euclidean algorithm類似的概念利用長除法一步步找出最大公因式即可f(x) = (x+1)g(x) + (3x + 2)g(x) = (x/3 - 5/9)(3x + 2) + 1/9=> 1 = 9g(x) - (3x - 5)(3x + 2) = 9g(x) - (3x - 5)[f(x) - (x+1)g(x)] = -(3x - 5)f(x) + (3x^2 - 2x + 4)g(x)所以(a, b, c) = (4, -2, 3)
10. 假設 f(x)^2-x 具有root 1, 9, 16則 (x-1)(x-9)(x-16) | f(x)^2 - x=> f(A)^2 - A = 0 => f(A)^2 = A則取 B = f(A), 即可得 B^2 = f(A)^2 = A因此只要找一個多項式滿足f(1)^2 = 1, f(9)^2 = 9, f(16)^2 = 16即可i.e., f(1) = 1, f(9) = 3, f(16) = 4至於要如何找這個多項式, 可用Lagrange內插法或者是用我們上課教的方法求解linear equation假設f(x) = a + bx + cx^2, 解a + b + c = 1a + 9b + 81c = 3a + 16b + 256c = 4可得 f(x) = (24/35) + (9/28)x - (1/140)x^2這兩題都比較像是在考多項式的技巧比較沒有一定的做法請問同學前兩天是你來問我這兩題的嗎?這還挺麻煩的, 我有點懶得再算一次是的話我下星期就不寫給你們看囉
不是我耶這是這學期台大的期中考題所以我覺得值得花點時間弄懂要出門了，晚上上完課再回來仔細看謝謝助教
借帖發問一下：請問助教第十題我有點疑慮，助教第一句話假設f(x)^2-x具有root 1,9,16，但若假設不成立呢？原題目中：(A-I)(A-9I)(A-16I)=0這代表ma(x)|(x-1)(x-9)(x-16)，所以ma(x)可能不是(x-1)(x-9)(x-16)，也就是1、9、16不一定都是A的eigenvalue此時是否需要分開討論所有case呢？p.s. 假設1,9,16都是A的eigenvalue，則確實必定可以滿足題目所說，但是否尚須考慮其他可能？
假設不會不成立, 因為那樣的二次多項式一定存在, 這裡我寫假設比較像是敘述的語氣, 主要是想把最原始的想法完整寫出來給大家參考, 若是要作答, 我可能就不會那樣寫, 而是直接把多項式找出來, 但那樣同學們可能會看不懂我為什麼知道要取那個這題其實和eigenvalue並無太大關係, 其實我上面寫的過程若找polynomial的方法不算, 當中用到的也只有單純的多項式運算, 甚至我覺得和線代也沒甚麼關係, 可以不用想太多
A tech writer who is passionate to write about streaming devices and its channel programs. Apart from my work, I am interested in music and sketching. Are you a person who needs updates about the new releases and is interested in tech blogs?Have a look at my recent blogs:Roku com link activate code> Roku.com/link > Roku Activation Link > Roku Activation Code > Roku.com/link Activation > How to Activate Roku?> Activate Roku com link > Activate Roku com link > Roku.com/link activation code > www.roku.com/link > Roku activation Link > roku account > roku.com > roku sign in > roku.com link > roku link > roku setup > www.roku.com > my.roku.com > www.roku.com/support > my roku account >
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9. 假設f(x) = (x^3 + x + 1), g(x) = x^2 - x - 1
因為f(A) = 0, 這題我的想法是找h1(x), h2(x)使得
h1(x)*f(x) + h2(x)*g(x) = 1
=> h2(A)*g(A) = I
=> g(A)^-1 = h2(A)
至於要怎麼求h1(x)和h2(x)
就用和Euclidean algorithm類似的概念
利用長除法一步步找出最大公因式即可
f(x) = (x+1)g(x) + (3x + 2)
g(x) = (x/3 - 5/9)(3x + 2) + 1/9
=> 1 = 9g(x) - (3x - 5)(3x + 2)
= 9g(x) - (3x - 5)[f(x) - (x+1)g(x)]
= -(3x - 5)f(x) + (3x^2 - 2x + 4)g(x)
所以(a, b, c) = (4, -2, 3)
10. 假設 f(x)^2-x 具有root 1, 9, 16
則 (x-1)(x-9)(x-16) | f(x)^2 - x
=> f(A)^2 - A = 0 => f(A)^2 = A
則取 B = f(A), 即可得 B^2 = f(A)^2 = A
因此只要找一個多項式滿足
f(1)^2 = 1, f(9)^2 = 9, f(16)^2 = 16即可
i.e., f(1) = 1, f(9) = 3, f(16) = 4
至於要如何找這個多項式, 可用Lagrange內插法
或者是用我們上課教的方法求解linear equation
假設f(x) = a + bx + cx^2, 解
a + b + c = 1
a + 9b + 81c = 3
a + 16b + 256c = 4
可得 f(x) = (24/35) + (9/28)x - (1/140)x^2
這兩題都比較像是在考多項式的技巧
比較沒有一定的做法
請問同學前兩天是你來問我這兩題的嗎?
這還挺麻煩的, 我有點懶得再算一次
是的話我下星期就不寫給你們看囉
不是我耶
這是這學期台大的期中考題
所以我覺得值得花點時間弄懂
要出門了，晚上上完課再回來仔細看
謝謝助教
借帖發問一下：
請問助教第十題我有點疑慮，助教第一句話假設f(x)^2-x具有root 1,9,16，但若假設不成立呢？
原題目中：
(A-I)(A-9I)(A-16I)=0
這代表ma(x)|(x-1)(x-9)(x-16)，所以ma(x)可能不是(x-1)(x-9)(x-16)，也就是1、9、16不一定都是A的eigenvalue此時是否需要分開討論所有case呢？
p.s. 假設1,9,16都是A的eigenvalue，則確實必定可以滿足題目所說，但是否尚須考慮其他可能？
假設不會不成立, 因為那樣的二次多項式一定存在, 這裡我寫假設比較像是敘述的語氣, 主要是想把最原始的想法完整寫出來給大家參考, 若是要作答, 我可能就不會那樣寫, 而是直接把多項式找出來, 但那樣同學們可能會看不懂我為什麼知道要取那個
這題其實和eigenvalue並無太大關係, 其實我上面寫的過程若找polynomial的方法不算, 當中用到的也只有單純的多項式運算, 甚至我覺得和線代也沒甚麼關係, 可以不用想太多
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