1)
若 Ax 的長度等於 x 長度,則A unitary
想問若 yA 的長度等於 y 的長度,這樣A是unitary 嗎?
(A : n by n , x : n by 1 , y : 1 by n )
2)
若A為正定則有B(full rank) 使得A=B^TB
想問將A用列運算得A=LDU的B , 和用么正對角化 A=PDP^T的B
這兩個B是不是會不同?
考試時用其中一方法就可以了嗎?
Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
5 則留言:
您好：
1. 平常我們習慣以行為主，所以才會定義這樣的unitary，我相信以列觀點應該也是可行的，不過可能要試著加以證明。
2.您的意思是 B^HB分解中的B和LL^T分解中的L是否相同嗎？我認為不會一樣，L是下三角矩陣，B僅保證可逆，兩者外觀也不同。
以上淺見..
1.感謝
2.P8-91 例38 要求B^TB=A,書上解法是用列運算而不是用么正對角化,所以我才疑惑要求B^TB這兩種方法是選一個用就可以了嗎?因為覺得用列運算比較簡單快速
您好：
說來有點奇妙，我的書上那頁是空白的。
若題目沒有要求B是什麼，應該是都可以的。
但是，您可以注意到B^HB分解和LL^T分解所要求的條件是不一樣的。
B^HB分解要求A normal，因為A normal 才代表A可作么正對角化，也才能作B^HB分解。
LL^T分解要求的是A正定且A對稱，這樣做LDU分解時才可以分解成LL^T(前後才會互為轉置)。
不知道您有沒有注意到我說的「要求的條件」呢？
A normal 代表 AA^H=A^HA，這時A不一定是對稱矩陣、也不一定是正定。也就是說：
A 正定且對稱 => A normal
所以當滿足左側條件時，A可作LL^T分解。但這時A當然是normal，也當然可以作么正對角化，最後做到B^HB分解。
不過反過來不對，A normal 不代表A 是正定且對稱，所以未必可以作 LL^T 分解。
您會認為作LL^T 分解比較簡單快速是對的，不過因為 LL^T 要求的條件強很多，比較不容易達成，相對的，B^HB分解要求的條件比較弱，做起來稍微比較慢。
以上總結：
A可作LL^T分解 => A 可作B^HB分解
以上淺見..
補充：
上述寫的 A 正定且對稱 => A normal 並非代表A要normal 需要A 正定且對稱(當然，返回去是錯的)，在這我要強調的是 normal 在第八章並不難滿足，我們的第八章圍繞著「正規算子」討論，所以您想到的算子幾乎都滿足A normal(Hermitian、Skew-Hermitian、正定、正半定、么正、正交)，所以雖然在現實生活中我們不容易做么正對角化，但是在第八章中我們很容易可以作么正對角化，因為六大算子都滿足么正對角化的條件。
感謝月大詳細的解說！～
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