想請問這個定理,右邊證左邊時老師上課提到 a^j-a^i=e ,j>i是因為消去性,我的疑惑是消去性
是因為有inverse造成,而這題不是就在證a^-1屬於H,為什麼還沒證出來就可以先用消去性呢?
謝謝!!
2012-11-30
離散-H為finite時子群的證明
助教好,
想請問這個定理,右邊證左邊時老師上課提到 a^j-a^i=e ,j>i是因為消去性,我的疑惑是消去性
是因為有inverse造成,而這題不是就在證a^-1屬於H,為什麼還沒證出來就可以先用消去性呢?
謝謝!!
想請問這個定理,右邊證左邊時老師上課提到 a^j-a^i=e ,j>i是因為消去性,我的疑惑是消去性
是因為有inverse造成,而這題不是就在證a^-1屬於H,為什麼還沒證出來就可以先用消去性呢?
謝謝!!
2012-11-29
100 交大資聯
助教您好,
想請問這題
T 2.(e)If A,B and A+B are nonsigular n*n matrices,then A^-1+B^-1 is nonsigular
解答的說明是去找 A(A+B)^-1B之 inverse ,然後他剛好就是 A^-1+B^-1 所以可逆.
我想問的是 找A(A+B)^-1B之 inverse 的想法是甚麼?還是這題算是技巧呢?
F 7.(a)Let L:R^n -> R^m be a linear transformation . If A is the standard matrix representation of L,
then an n*n matrix B will also be a matrix representation of L if and only if B is similar to A
解答上面是靠直接找例子例帶進去,發現 false ,但如果 B對過去的basis找自己就會是
tr(A)==tr(B),如果是找別組則 tr(A)!=tr(B),我想請教像這種題目陷阱重重又要花很多時間
算,有沒有甚麼方法可以比較快判斷出來呢?謝謝
2012-11-23
unitary保長度
1)
若 Ax 的長度等於 x 長度,則A unitary
想問若 yA 的長度等於 y 的長度,這樣A是unitary 嗎?
(A : n by n , x : n by 1 , y : 1 by n )
2)
若A為正定則有B(full rank) 使得A=B^TB
想問將A用列運算得A=LDU的B , 和用么正對角化 A=PDP^T的B
這兩個B是不是會不同?
考試時用其中一方法就可以了嗎?
若 Ax 的長度等於 x 長度,則A unitary
想問若 yA 的長度等於 y 的長度,這樣A是unitary 嗎?
(A : n by n , x : n by 1 , y : 1 by n )
2)
若A為正定則有B(full rank) 使得A=B^TB
想問將A用列運算得A=LDU的B , 和用么正對角化 A=PDP^T的B
這兩個B是不是會不同?
考試時用其中一方法就可以了嗎?
生成函數求和算子
有關V同學前兩天問的那題今年台大的離散, 題目如下：
我回的時候只寫了一般遞迴的解法
忘記提醒同學若要用生成函數求和算子該怎麼做了
我把解法大概跟同學說一下:
Sn = t1 + ... + tn, 其中 tn = 1 + 2 + ... +n
欲求Sn, 令T(x)為tn的生成函數, t0 = 0
則 S(x) = T(x)/(1-x) 為Sn之生成函數
T(x) = ∑ [(n^2 + n)/2] x^n, n = 0~∞
求解T(x)這個應該沒甚麼問題,
把兩項拆開, 分別作一下微分可導出
T(x) = (1/2)*(x(1+x)/(1-x)^3 + x/(1-x)^2)
T(x)求出來S(x)也就沒問題了
求x^n之係數, 可得
s_n = [c(n+2,n-1)+c(n+1,n-2)+c(n+1,n-1)]/2
= [(n+2)(n+1)n/6 + (n+1)n(n-1)/6 + (n+1)n/2]/2
將 n 用 1 代入可求得係數和 a0 + a1 + a2 + ... = 1
我回的時候只寫了一般遞迴的解法
忘記提醒同學若要用生成函數求和算子該怎麼做了
我把解法大概跟同學說一下:
Sn = t1 + ... + tn, 其中 tn = 1 + 2 + ... +n
欲求Sn, 令T(x)為tn的生成函數, t0 = 0
則 S(x) = T(x)/(1-x) 為Sn之生成函數
T(x) = ∑ [(n^2 + n)/2] x^n, n = 0~∞
求解T(x)這個應該沒甚麼問題,
把兩項拆開, 分別作一下微分可導出
T(x) = (1/2)*(x(1+x)/(1-x)^3 + x/(1-x)^2)
T(x)求出來S(x)也就沒問題了
求x^n之係數, 可得
s_n = [c(n+2,n-1)+c(n+1,n-2)+c(n+1,n-1)]/2
= [(n+2)(n+1)n/6 + (n+1)n(n-1)/6 + (n+1)n/2]/2
將 n 用 1 代入可求得係數和 a0 + a1 + a2 + ... = 1
2012-11-21
2012-11-20
不變子空間觀念
請問助教，以下面 V大 的例子：矩陣形成很有規律的排列，此種矩陣我看到時想到老師曾用「不變子空間」解過這樣的題目，如下：
取v1=(1,1,1,1)、v2=(1,2,3,4)，則Av1=-6v1+16v2，Av2=-10v1+40v2，span{v1,v2}形成A-invariant。
因此，A可藉由變換基底為2x2的矩陣，此矩陣應當與A具相同的非零eigenvalue，故藉由此矩陣計算A之 eigenvalue。
這種解法確實很有趣，但我小時候就有個疑問，就是seed該怎麼找呢？也就是這裡的 v1 和 v2，若找不到合適的向量生成「不變子空間」，這個方法並沒有辦法實際使用，我也曾想過用「循環子空間」來生成不變子空間，但仍要找到第一個v使得{v,Av,...}可以形成維度小於4的不變子空間才行，若變換基底後仍為4x4，那仍然無法輕易計算eigenvalue，請助教幫忙！
若用助教的方法，我仍然需要看出 x,y,z來分解原矩陣，仍然困難，請問助教如何看出用x,y,z分解的呢？
2012-11-19
[考古題] 離散+線代
助教您好，想請您幫忙解兩個題目
1.
這題我直覺是生成函數的求和算子，所以(a)直接解 Sn = Sn-1+ tn
然後(b)我是模仿老師課本中的做法，不過發現符號有點不一樣
Sn = A(x) => A(x)/(1-x)
= (a0+a1x+a2x^2...)(1+x+x^2+...)
= a0 + (a0+a1)x + (a0+a1+a2)x^2 + ...
= ∑ (a0+a1+...+an)x^n = ∑ (t1 + t2 + ... +tn)
到這裡之後，因為老師書上的 Sn = a0 + a1 + a2 + ...
A(x) = 這邊的 Sn
所以不知道怎麼做下去了，請助教指點!
所以解出 nullity(H-0I) = n - rank(H) = 2
0 為 H 的 eigenvalue 且 am(0) >= 2
令另外兩個eigenvalue 為 a 和 b
則 PH(X) = X^2(a-X)(b-X) = X^4 - (a+b)X^3 + abX^2
tr(H) = 入1 + 入2 + 入3 + 入4 = 0 + 0 + a + b = 34
H^3 - αH^2-βH-γI = 0
=> f(x) = X^3-αX^2-βX-γ
=> Xf(x) = X^4-αX^3-βX^2-γX
所以 α = (a+b) = 34, γ = 0 (因為沒有 X項)
到了這邊就卡住了，習題的解法是用 T(v) = Ax 的方式去找 ab
那樣還得去算 H 與 W的基底的結果，不知道有沒有別的方法可以解這一題呢?
1.
然後(b)我是模仿老師課本中的做法，不過發現符號有點不一樣
Sn = A(x) => A(x)/(1-x)
= (a0+a1x+a2x^2...)(1+x+x^2+...)
= a0 + (a0+a1)x + (a0+a1+a2)x^2 + ...
= ∑ (a0+a1+...+an)x^n = ∑ (t1 + t2 + ... +tn)
到這裡之後，因為老師書上的 Sn = a0 + a1 + a2 + ...
A(x) = 這邊的 Sn
所以不知道怎麼做下去了，請助教指點!
這題我想嘗試不直接求 det(H-xI)的方式找 H 的 eigenvalue
找習題(5-214)的類題做法
所以先列運算到
[1 2 3 4]
[0 -4 -8 -12]
[0 -8 -16 -24]
[0 -12 -24 -36]
所以解出 nullity(H-0I) = n - rank(H) = 2
0 為 H 的 eigenvalue 且 am(0) >= 2
令另外兩個eigenvalue 為 a 和 b
則 PH(X) = X^2(a-X)(b-X) = X^4 - (a+b)X^3 + abX^2
tr(H) = 入1 + 入2 + 入3 + 入4 = 0 + 0 + a + b = 34
H^3 - αH^2-βH-γI = 0
=> f(x) = X^3-αX^2-βX-γ
=> Xf(x) = X^4-αX^3-βX^2-γX
所以 α = (a+b) = 34, γ = 0 (因為沒有 X項)
到了這邊就卡住了，習題的解法是用 T(v) = Ax 的方式去找 ab
那樣還得去算 H 與 W的基底的結果，不知道有沒有別的方法可以解這一題呢?
2012-11-16
2012-11-15
2012-11-11
離散習題3-123 (c)
題目：Let A={a, b, c, d} , B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
how many onto functions f: B->A satisfying f(1)=a?
解答是onto(6,3)+onto(6,4)=2100
為什麼這題不能用全部onto個數 - f(1)!=a
=> onto(7,4) - 3*onto(6,4)=3720
how many onto functions f: B->A satisfying f(1)=a?
解答是onto(6,3)+onto(6,4)=2100
為什麼這題不能用全部onto個數 - f(1)!=a
=> onto(7,4) - 3*onto(6,4)=3720
2012-11-05
[線代] 習題5-170 & 5-175
請問助教：
1. 關於5-170 (解答本P.5-82) 的(b)小題中，為什麼不以標準基底B作答，反而使用基底S作答？
2. 5-175題 (解答本P.5-88) 因此當x = t[根號2 , 1]時，y = Ax = 2x
解答似乎有錯
謝謝~：D
1. 關於5-170 (解答本P.5-82) 的(b)小題中，為什麼不以標準基底B作答，反而使用基底S作答？
2. 5-175題 (解答本P.5-88) 因此當x = t[根號2 , 1]時，y = Ax = 2x
解答似乎有錯
謝謝~：D
2012-11-04
線代四版 CH5 P5-169 EX56(98大同資工)
若有eigenvalue={1,2,2}
則v(2)可形成兩個線性獨立的eigenvector 假設為x1,x2
v(1)對應的eigenvector為x0
那所算出來的對角矩陣A為
[x0,x1,x2] * [eigenvalue所形成的對角矩陣] * [x0,x1,x2]的inverse
將x1,x2交換可算出另一個矩陣A' 中間對角矩陣不變
A != A'
以上是我的想法 請助教解答為什麼有相同eigenvector,eigenvalue所算出來的對角矩陣唯一?
則v(2)可形成兩個線性獨立的eigenvector 假設為x1,x2
v(1)對應的eigenvector為x0
那所算出來的對角矩陣A為
[x0,x1,x2] * [eigenvalue所形成的對角矩陣] * [x0,x1,x2]的inverse
將x1,x2交換可算出另一個矩陣A' 中間對角矩陣不變
A != A'
以上是我的想法 請助教解答為什麼有相同eigenvector,eigenvalue所算出來的對角矩陣唯一?
2012-11-02
[離散]圖論
助教您好
想請教兩個基本的題目
Problem 1: 老師上課有補充 Covering 的定義，我抄的內容是 "選取的點，可以連通所有vertices" 但是我的例子又好像不是這樣。
所以我上網Google後找到 covering 分為兩種，一種是 vertex covering，另一種是 edge covering，前者是 "選取的點，可以連通所有 edges" 我覺得這樣定以好像才對吧?所以應該是我抄錯?
另外，既然有兩種 covering 的定義，那麼一般我們會討論哪一個呢?
Problem 2 : P.6-126 範例 9
我想問 (b)，雖然我已經懂解答中的黏點方式計算，但是我試著用一個點一個點推的，卻得不到正確解答。
My Thinking :
w 可以有 入 種方法
x, z 皆與 w 相連，所以 x, z 的方法數是 (入-1)種
t 雖然也跟 w 相連，但是又與 x 相連，所以方法數是 (入-2)種
y 跟 x, t, z 相連，但是可以跟 w 同色，所以方法數是 (入-2)種
這樣子的話，P(G,5) = 5*(5-1)*(5-1)*(5-2)*(5-2) = 5 * 16 * 9 = 720 ????
為什麼會比答案的 600 多 120 呢???
麻煩助教了! 謝謝
想請教兩個基本的題目
Problem 1: 老師上課有補充 Covering 的定義，我抄的內容是 "選取的點，可以連通所有vertices" 但是我的例子又好像不是這樣。
所以我上網Google後找到 covering 分為兩種，一種是 vertex covering，另一種是 edge covering，前者是 "選取的點，可以連通所有 edges" 我覺得這樣定以好像才對吧?所以應該是我抄錯?
另外，既然有兩種 covering 的定義，那麼一般我們會討論哪一個呢?
Problem 2 : P.6-126 範例 9
我想問 (b)，雖然我已經懂解答中的黏點方式計算，但是我試著用一個點一個點推的，卻得不到正確解答。
My Thinking :
w 可以有 入 種方法
x, z 皆與 w 相連，所以 x, z 的方法數是 (入-1)種
t 雖然也跟 w 相連，但是又與 x 相連，所以方法數是 (入-2)種
y 跟 x, t, z 相連，但是可以跟 w 同色，所以方法數是 (入-2)種
這樣子的話，P(G,5) = 5*(5-1)*(5-1)*(5-2)*(5-2) = 5 * 16 * 9 = 720 ????
為什麼會比答案的 600 多 120 呢???
麻煩助教了! 謝謝
2012-11-01
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