以下有幾個問題想請益一下:
Q1.
線代題庫4-40題
Let A be an m*n matrix . Then nullity(A) ≧ n - m.
Sol:
因為rank(A) ≦ m , 所以nullity(A) = n - rank(A) ≧ n - m.
請問這裏的rank(A)會小於等於m ? rank(A)不是應該 ≦ min{m, n} ? 題目也沒給mn大小.
Q2.
ker(A-B) = {0} , so nullity is 0 ? 請問助教這樣想法哪裡有問題..
Q3.
我要問的是rank跟解個數的定理
Ax = b 至少一解 for all b 屬於 F^(m*1) <==> rank(A) = m
Ax = b 至多一解 for all b 屬於 F^(m*1) <==> rank(A) = n
老師在課堂上說，A不等於m 則有些b有解、有些b無解
那請問助教如果rank(A) 不等於 n 的話 ，是等價Ax=b具有無限多解嗎 ?
問題有點多，thanks..
4 則留言:
您好：
Q1:
這是對的，假設m>n，則：
0=<rank(A)<=m
n-m<=nullity(A)<=n
無論m、n關係為何，題目敘述並沒有錯。
Q2:
題目說 for all x均滿足，您的(A-B)x=0，nullity(A-B)=R才是喔。
事實上，rank(A-B)=0，A-B為零矩陣，A=B。
Q3:
應該是沒錯的，若rank(A)不等於m,n，則有些b有解(無限解)，有些b無解。
以上淺見..
Q1:
這是對的，假設m>n，則：
0=<rank(A)<=n
n-m<0<=nullity(A)<=n
假設m<n
0=<rank(A)<=m
n-m<=nullity(A)<=n
無論m、n關係為何，題目敘述並沒有錯。
在做範例的時候我也有發現Q3的問題
後來去翻第一章定理 1-19 就有提到
如果 rank(A)= rank([A|B]) < n 則 Ax=b有無限多解
不知道是不是因為這樣
感謝月戀大 !
也謝謝Veck，還沒重新複習整理，謝謝提醒 :)
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