Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
1. 定理1-16, 另一個方向是錯的, 比方說A = B = b = c = 1 0 0 1 10 0 0 0 1則 Ax=b 與 Bx=c 都無解, 但[A|b]並不列等價於[B|c]至於定理1-17, 另一個方向會是對的, 這個部分若同學你已經有學到第七章, 那麼利用正交補空間那一節的觀念去想, 你應該就會理解原因了2. 這裡(c)小題就相當於是在算initial decreasing subsequence長度的期望值, 那麼依題意把size為 k 的initial decreasing subsequence所出現的機率(也就是(b)小題算出來的結果)乘上 k, 並且加總所有 k 的可能(k=1,2,...,n)就會得到答案, 也就是說這個值意義上就是代表在[n]上的random permutation的initial decreasing subsequence的平均長度
正交補空間？ 能否請助教再多提示一點點..？ 我仍然認為這是錯的..
Ax=0 與 Bx=0 具有相同的解集合=> N(A) = N(B) => N(A)之orthogonal complement = N(B)之orthogonal complement => R(A^T) = R(B^T), i.e., A 與 B 具有相同的列空間
可是定理說的是列等價，列空間一樣便代表列等價嗎？
非常感謝助教回復 但請問一下助教以下兩個矩陣A= B= Ax=0 和 Bx=0 可以說有相同解集嘛？000 000000 000000 000000
月...: 是的, 這其實也和reduced row echelon form的唯一性有關: A, B: mxn, A 列等價於 B iff A,B具有相同的rrefiff A,B具有相同的row space這裡不要想得太複雜, 幾何上的意義不難理解, 因為對 A 作列運算概念上就相當於是在造 A 的列的線性組合所以如果 B 的每一列都可以被 A 生成, 代表 B 的每一列可以寫成 A 的列的線性組合, 則 A 一定可以列運算至 B, 反過來也一樣Victor: 是阿, 解集合都是整個 R^3
那請問一下助教 a b兩個矩陣一個是4x3 一個是3x3 這樣為什麼還會列等價？
據我所知，A與B列等價不是「矩陣A可做若干次列運算等於矩陣B」嗎？ 如 Victor 所說，不同大小的矩陣何來列等價之說呢？我以為，A,B 有相同的列空間，應當是指「列生成」的生成集一樣，但這並未保證獨立，列等價應該需要到 列基底 吧？即將亂掉..
Victor他前一個問題只問我解集一不一樣, 沒有問列等價, 所以我回答一樣, 因為那兩個矩陣的nullspace的確都是R^3, 但我沒有說那兩個矩陣會列等價, 他舉的例子也不是我上面列的那三個等價敘述的反例, 因為我在一開始就有寫明了: "A, B: mxn", 也就是說在討論列等價時, 就如你們所說, 我們只針對大小相同的矩陣作討論A,B的列空間一樣, 跟A,B的列是否為列空間的basis沒甚麼關係, 應該是說他們都可以列運算至同一個rref, 以便我們找出RS(A)=RS(B)的basis (藉由取pivot所在的列)重點還是老師常提的列運算保列空間, 而列等價這個名詞某種意義上也是在說明列空間的不變性, 概念上真的沒有很複雜, 希望同學不要亂掉了
非常非常感謝助教撥冗回復
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1. 定理1-16, 另一個方向是錯的, 比方說
A = B = b = c =
1 0 0 1 1
0 0 0 0 1
則 Ax=b 與 Bx=c 都無解,
但[A|b]並不列等價於[B|c]
至於定理1-17, 另一個方向會是對的,
這個部分若同學你已經有學到第七章,
那麼利用正交補空間那一節的觀念去想,
你應該就會理解原因了
2. 這裡(c)小題就相當於是在算initial decreasing subsequence長度的期望值, 那麼依題意把size為 k 的initial decreasing subsequence所出現的機率(也就是(b)小題算出來的結果)乘上 k, 並且加總所有 k 的可能(k=1,2,...,n)就會得到答案, 也就是說這個值意義上就是代表在[n]上的random permutation的initial decreasing subsequence的平均長度
正交補空間？ 能否請助教再多提示一點點..？ 我仍然認為這是錯的..
Ax=0 與 Bx=0 具有相同的解集合
=> N(A) = N(B)
=> N(A)之orthogonal complement = N(B)之orthogonal complement
=> R(A^T) = R(B^T), i.e., A 與 B 具有相同的列空間
可是定理說的是列等價，列空間一樣便代表列等價嗎？
非常感謝助教回復 但請問一下助教以下兩個矩陣
A= B= Ax=0 和 Bx=0 可以說有相同解集嘛？
000 000
000 000
000 000
000
月...: 是的, 這其實也和reduced row echelon form
的唯一性有關:
A, B: mxn, A 列等價於 B
iff A,B具有相同的rref
iff A,B具有相同的row space
這裡不要想得太複雜, 幾何上的意義不難理解,
因為對 A 作列運算概念上就相當於是在造 A 的列的線性組合
所以如果 B 的每一列都可以被 A 生成,
代表 B 的每一列可以寫成 A 的列的線性組合,
則 A 一定可以列運算至 B, 反過來也一樣
Victor: 是阿, 解集合都是整個 R^3
那請問一下助教 a b兩個矩陣一個是4x3
一個是3x3 這樣為什麼還會列等價？
據我所知，A與B列等價不是「矩陣A可做若干次列運算等於矩陣B」嗎？ 如 Victor 所說，不同大小的矩陣何來列等價之說呢？
我以為，A,B 有相同的列空間，應當是指「列生成」的生成集一樣，但這並未保證獨立，列等價應該需要到 列基底 吧？
即將亂掉..
Victor他前一個問題只問我解集一不一樣, 沒有問列等價, 所以我回答一樣, 因為那兩個矩陣的nullspace的確都是R^3, 但我沒有說那兩個矩陣會列等價, 他舉的例子也不是我上面列的那三個等價敘述的反例, 因為我在一開始就有寫明了: "A, B: mxn", 也就是說在討論列等價時, 就如你們所說, 我們只針對大小相同的矩陣作討論
A,B的列空間一樣, 跟A,B的列是否為列空間的basis沒甚麼關係, 應該是說他們都可以列運算至同一個rref, 以便我們找出RS(A)=RS(B)的basis (藉由取pivot所在的列)
重點還是老師常提的列運算保列空間, 而列等價這個名詞某種意義上也是在說明列空間的不變性, 概念上真的沒有很複雜, 希望同學不要亂掉了
非常非常感謝助教撥冗回復
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