觀察 令 B = [v1,v1,v1,v1,v1,v1]，v1=[1,2,3,4,5,6]^T，則B+I =A。 此時注意到v1=b，所以 b 必為B之 特徵向量、且1+2+3+4+5+6=21為B之特徵根(驗證時僅需將B乘上b即可)。 得到關係式 Bb=21b，兩邊加上一個b： (B+I)b=22b，且B+I=A，得到Ab=22b 與題目比較，此時題目的 x 即為 b/22，所以答案為 (1+2+3+4+5+6)/22=21/22。
第二題：
我沒在您的圖上看到 25 題，若是26題的話也並非很直觀，不過基礎想法是希望將 AB和BA 連上關係。 因此，用方塊矩陣來做列運算與行運算時，要得到相似的性質必定要存在一個可逆矩陣，所以估計需要一個行運算(乘在右邊)與一個列運算(乘在左邊)，且他們必須互為反矩陣。(中間的矩陣不一定要解答那個，我是用 B BA ，重點是要一個行運算與一個列運算。)
接著就如同解答所示。
第三題：
這題題目有說「假設 A B C 是 n by n」，都說是「假設」囉，所以這題要求 n by n，並不代表方塊矩陣切割時都一定要 n by n，事實上，方塊矩陣可以是任何大小。
第四題：
可先對 A B 分別做對角化，因為已知 A~B，所以要注意做對角化時，擺對角矩陣的特徵根順序要一致，則：
P^-1AP=B 對A、B做對角化：
存在 Q 使得 A=QDQ^-1 存在 R 使得 B=RDR^-1
則 P^-1AP=(P^-1Q)D(Q^-1P)=(P^-1Q)D(P^-1Q)^-1=B=RDR^-1 此時 R = P^-1Q，P=QR^-1。
10 則留言:
您好：
第一題：
我認為只是「本題這樣解而已」，平常Ax = b 不能這樣算，先不考慮解答的話，提供我的解法如下：
觀察 令 B = [v1,v1,v1,v1,v1,v1]，v1=[1,2,3,4,5,6]^T，則B+I =A。
此時注意到v1=b，所以 b 必為B之 特徵向量、且1+2+3+4+5+6=21為B之特徵根(驗證時僅需將B乘上b即可)。
得到關係式
Bb=21b，兩邊加上一個b：
(B+I)b=22b，且B+I=A，得到Ab=22b
與題目比較，此時題目的 x 即為 b/22，所以答案為 (1+2+3+4+5+6)/22=21/22。
第二題：
我沒在您的圖上看到 25 題，若是26題的話也並非很直觀，不過基礎想法是希望將 AB和BA 連上關係。
因此，用方塊矩陣來做列運算與行運算時，要得到相似的性質必定要存在一個可逆矩陣，所以估計需要一個行運算(乘在右邊)與一個列運算(乘在左邊)，且他們必須互為反矩陣。(中間的矩陣不一定要解答那個，我是用 B BA ，重點是要一個行運算與一個列運算。)
接著就如同解答所示。
第三題：
這題題目有說「假設 A B C 是 n by n」，都說是「假設」囉，所以這題要求 n by n，並不代表方塊矩陣切割時都一定要 n by n，事實上，方塊矩陣可以是任何大小。
第四題：
可先對 A B 分別做對角化，因為已知 A~B，所以要注意做對角化時，擺對角矩陣的特徵根順序要一致，則：
P^-1AP=B
對A、B做對角化：
存在 Q 使得 A=QDQ^-1
存在 R 使得 B=RDR^-1
則 P^-1AP=(P^-1Q)D(Q^-1P)=(P^-1Q)D(P^-1Q)^-1=B=RDR^-1
此時 R = P^-1Q，P=QR^-1。
以上淺見..
第二題補充：
A-1(AB)A=BA，代表AB和BA相似。但這題我無從得知 A 是否可逆，所以我「希望」AB 和 BA 相似，但我其實無法確定是否相似。
1. det(A)x=b不是甚麼快速解法,
它就只是題目裡寫的那個式子
(注意看噢, 題目裡那個6x6的是行列式不是矩陣)
2. 有些題目在解法上若有用到矩陣的拆解
此類技巧的確是需要一些經驗
這點老師在上課時教到這個定理時也有提醒過大家
3. 定理2-10寫的廣義一點應該是 A:mxm, B:nxn,
也就是說, 只要 A 和 B 都是方陣就可以了
太驚人了！我居然看錯整個題目結果答案算出來一樣！ 感謝助教一語道破！
非常感謝助教解答
不好意思再請問一下 第一題解答裡面寫 因為A=B+I所以engienvalue都加1 這個結果在這題很直觀 但我想請問一下這是什麼定理嘛？ 或是只有是加I（單位矩陣）的時候才能用？
@victor :
你想問的應該是,入(浪打)的變化
,就是Ax = 入x 這應該不算定理
舉例:
A的transpose乘X = 入的transpose乘X
有錯的話請樓下指正,謝謝
感謝 這其實是eigenvalue表現定理的其中一個 只是老師好像沒有特別寫這個的證明 所以我好奇這是從哪裡推過來的 還是只是單純eigenvalue的運算結果 感恩解答:)
但我還是想請教一下 A+aI 則 入值會家a 這個表現定理要如何寫證明？ 因為翻了一下筆記 老師好像沒特說 還是太trivial 所以就免證明!?
eigenvalue表現定理在矩陣的多項式上都適用, 另外還有像是 "若 A 為可逆且λ為 A 之eigenvalue, 則1/λ也會是A^-1的eigenvalue", 這些證明都不難, 由定義切入很容易得證, 細節請參考書上p5-40定理5-15
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