Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
1.想說你怎麼會問這麼奇怪的問題這樣不是定理全部都要改寫了嗎?XD這一題有給條件V是由這5向量生成但是這5向量有2個是冗員所以其實他維度只有三當然被三個LI的向量生成如果題目是改R4那樣才是false2.沒錯啊...所以同eigenvalue做完GS就正交了六大算子都可正交對角化這點蠻重要的3.手邊沒題目拍謝ps下次建議放題目上來如果手邊沒考卷 基本上要回答的人也蠻不方便的~"~
1. V=span{v1,...,v5}為R^4的一個subspace, 題目請你檢查是不是用{v1,v2,v3}就可以生成 V3. 這題有勘誤G 中degree為 3 的點有 8 個G 中degree為 6 的點有 16 個
>> AIdrifter1.恩，沒考慮清楚，的確是在找V的米蟲而不是R4的2.不是阿，那說做完GS就正交了那我不就能說世界上所有的向量全都是互相正交的嗎?題目是說"A is NxN symmtric matrix => A has n orthonormal eigenvector""A對稱 => A可以做正交對角化""A可作正交對角化 => A可對角化""A可對角化 => A具N線性獨立eigenvector""A具N線性獨立eigenvector => A可以把這N個vector作GS後變成正交的"可是我覺得這樣邏輯還是不通例如你看線代下冊8-75頁我取V(9)的兩個eigenvector，(1 1 0)和(-1 0 2)和V(18)的(2 2 -1)Q:(1 1 0)(-1 0 2)(2 2 -1)是不是A的eigenvector?A:是Q:(1 1 0)(-1 0 2)(2 2 -1)是不是LI?A:是(1 1 0)(-1 0 2)(2 2 -1)是不是orthogonal?A:不是如果今天他題目是問"A佈於實數對稱 => A具N個線性獨立eigenvector"這我就回答true可是他今天問"若A對稱則A具N個正交eigenvector""A對稱"是充分條件，但顯然我能找到上述的反例，所以這整句命題應該還是錯的吧?
1. A is real symmetric與A可正交對角化是充要條件, 不是只有充分條件2. symmetric的關鍵在於相異eigenvalue對應的eigenvector互相垂直, 以8-75為例V(9)的二個LI eigenvectors (1, 1, 0), (-1,0, 2), 與V(18)的(2, -2, 1)是垂直的但V(9)的二個LI eigenvector不垂直, 這時利用Gram-Schmidt process讓他垂直, 下面才是關鍵,作完Gram-Schmidt後的二個向量還是相對於9的eigenvectors, 這是因為Gram-Schmidt作完後還是V(9)的basis,所以他還是跟(2, -2, 1)垂直3. 至於一般的可對角化矩陣為何未必可正交對角化, 因為不同eigenvalue對應的eigenvector未必垂直, 即使您用Gram-Schmidt把它們弄成垂直, 您會發現, 那些垂直的向量有些已經不再是eigenvector了
所以老師您的意思是說那題的焦點是在於"對稱矩陣將可以有N個正交的特徵向量"因為一般矩陣無法保證他的特徵向量做完GS以後還能維持持住是特徵向量，所以一般的矩陣可以具有n個線性獨立的向量但不一定具有相互正交的向量如果是這樣的話應該就可以接受了
很好, 慢慢有抓到精神了, 這才是算子理論我們一開始講那個大表格那一段的精神, "相異eigenvalue對應的eigenvector互相垂直", Gram-Schmidt process只是一個工具, 他是找orthonormal basis的工具
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1.
想說你怎麼會問這麼奇怪的問題
這樣不是定理全部都要改寫了嗎?XD
這一題有給條件
V是由這5向量生成
但是這5向量有2個是冗員
所以其實他維度只有三
當然被三個LI的向量生成
如果題目是改R4
那樣才是false
2.
沒錯啊...所以同eigenvalue
做完GS就正交了
六大算子都可正交對角化
這點蠻重要的
3.手邊沒題目
拍謝
ps下次建議放題目上來
如果手邊沒考卷
基本上要回答的人也蠻不方便的~"~
1. V=span{v1,...,v5}為R^4的一個subspace,
題目請你檢查是不是用{v1,v2,v3}就可以生成 V
3. 這題有勘誤
G 中degree為 3 的點有 8 個
G 中degree為 6 的點有 16 個
>> AIdrifter
1.恩，沒考慮清楚，的確是在找V的米蟲而不是R4的
2.
不是阿，那說做完GS就正交了那我不就能說世界上所有的向量全都是互相正交的嗎?
題目是說
"A is NxN symmtric matrix => A has n orthonormal eigenvector"
"A對稱 => A可以做正交對角化"
"A可作正交對角化 => A可對角化"
"A可對角化 => A具N線性獨立eigenvector"
"A具N線性獨立eigenvector => A可以把這N個vector作GS後變成正交的"
可是我覺得這樣邏輯還是不通
例如你看線代下冊8-75頁
我取V(9)的兩個eigenvector，(1 1 0)和(-1 0 2)和V(18)的(2 2 -1)
Q:(1 1 0)(-1 0 2)(2 2 -1)是不是A的eigenvector?
A:是
Q:(1 1 0)(-1 0 2)(2 2 -1)是不是LI?
A:是
(1 1 0)(-1 0 2)(2 2 -1)是不是orthogonal?
A:不是
如果今天他題目是問"A佈於實數對稱 => A具N個線性獨立eigenvector"
這我就回答true
可是他今天問"若A對稱則A具N個正交eigenvector"
"A對稱"是充分條件，但顯然我能找到上述的反例，所以這整句命題應該還是錯的吧?
1. A is real symmetric與A可正交對角化是充要條件, 不是只有充分條件
2. symmetric的關鍵在於相異eigenvalue對應的eigenvector互相垂直, 以8-75為例
V(9)的二個LI eigenvectors (1, 1, 0),
(-1,0, 2), 與V(18)的(2, -2, 1)是垂直的
但V(9)的二個LI eigenvector不垂直,
這時利用Gram-Schmidt process讓他垂直,
下面才是關鍵,作完Gram-Schmidt後的二個
向量還是相對於9的eigenvectors, 這是
因為Gram-Schmidt作完後還是V(9)的basis,
所以他還是跟(2, -2, 1)垂直
3. 至於一般的可對角化矩陣為何未必可正交對
角化, 因為不同eigenvalue對應的
eigenvector未必垂直, 即使您用Gram-
Schmidt把它們弄成垂直, 您會發現, 那些
垂直的向量有些已經不再是eigenvector了
所以老師您的意思是說那題的焦點是在於"對稱矩陣將可以有N個正交的特徵向量"
因為一般矩陣無法保證他的特徵向量做完GS以後還能維持持住是特徵向量，所以一般的矩陣可以具有n個線性獨立的向量但不一定具有相互正交的向量
如果是這樣的話應該就可以接受了
很好, 慢慢有抓到精神了, 這才是算子理論我們一開始講那個大表格那一段的精神, "相異eigenvalue對應的eigenvector互相垂直", Gram-Schmidt process只是一個工具, 他是找orthonormal basis的工具
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