Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
P4-59 注意事項4-19: (2) 雖然我覺得寫 T^-1: 一對多有點怪怪的, 不過感覺得出來你應該有掌握到意思(3) 你這裡的 S 和 T^-1(T(S))標反了, 因為 T 有可能會多對一, 譬如比方說假設 u,v ∈ V, u ∈ S, v ∉ S, T(u)=T(v), 那麼對過去再對回來就會發現 u,v 都會屬於 T^-1(T(S)), 所以 T^-1(T(S)) 只會比 S 還要來的大P4-72 定理4-20: 想法和用法上都不太一樣, 同維和同構那裡所討論的主角是向量空間, 並且所敘述的是只要存在一個linear transformation T:V->V', T為1-1且onto, 則 V 與 V' 同構, 並不是說所有由 V 至 V' 的linear transformation T都要是1-1且onto, 且即使找到一個T為1-1, T也不一定是onto, 除非你找到的 T 是同構函數 (根據定義4-3)而定理4-20的主角則是函數, 意思是說只要T:V->V'為1-1, 其中dim(V)=dim(V'), 則 T 必為onto, 反之亦然, 所以說如果要找一個由 V 到 V' 的同構函數, 則根據定理4-20, 就只要找一個線性函數 T 為 1-1 (或 T 為 onto)即可
謝謝助教 第一題我了解了我想在請問一下 同維及同構的定理可以解釋為這樣嗎?T: V→V' dim(v)=dim(v')則 T為同構函數 所以 T:1-1且ONTO
同構成立代表你的T以經滿足1-1且onto了而你的"T: V→V' dim(v)=dim(v')則 T為同構函數 所以 T:1-1且ONTO"這段話是想說同維即同構吧應該把它改成若dim(V)=dim(V')時"會存在一個T: V→V'為1-1且ONTO"造成同構而定理4-20我覺得你應該是想成已經構成同維哩@@那此T一定是同構的@@其實不一定還要判斷此T,所以4-20才會再多一個1-1<=>onto來判定以上小弟想法@@
嗯, 謝謝YAMATO幫忙解釋, 再強調一下, "會存在一個T: V→V'為1-1且ONTO" 這句話裡的"存在"那兩個字很重要, 不可以省略, 因為同維即同構的意思是說如果同維的話, 即存在一個由 V 至 V' 的同構函數, 除了同構函數以外的其它線性函數, 他們的1-1或ONTO性質都是無法確定的, 不在我們的討論範圍之內所以說假設dim(V)=dim(V'), 不是所有的linear T:V->V'都會是同構函數, 事實上我們可以找到一堆由V至V'不為同構函數, 譬如說只要定義出一個不為1-1的T就好了
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P4-59 注意事項4-19:
(2) 雖然我覺得寫 T^-1: 一對多有點怪怪的, 不過感覺得出來你應該有掌握到意思
(3) 你這裡的 S 和 T^-1(T(S))標反了, 因為 T 有可能會多對一, 譬如比方說假設 u,v ∈ V, u ∈ S, v ∉ S, T(u)=T(v), 那麼對過去再對回來就會發現 u,v 都會屬於 T^-1(T(S)), 所以 T^-1(T(S)) 只會比 S 還要來的大
P4-72 定理4-20:
想法和用法上都不太一樣, 同維和同構那裡所討論的主角是向量空間, 並且所敘述的是只要存在一個linear transformation T:V->V', T為1-1且onto, 則 V 與 V' 同構, 並不是說所有由 V 至 V' 的linear transformation T都要是1-1且onto, 且即使找到一個T為1-1, T也不一定是onto, 除非你找到的 T 是同構函數 (根據定義4-3)
而定理4-20的主角則是函數, 意思是說只要T:V->V'為1-1, 其中dim(V)=dim(V'), 則 T 必為onto, 反之亦然, 所以說如果要找一個由 V 到 V' 的同構函數, 則根據定理4-20, 就只要找一個線性函數 T 為 1-1 (或 T 為 onto)即可
謝謝助教 第一題我了解了
我想在請問一下 同維及同構的定理可以解釋為這樣嗎?
T: V→V' dim(v)=dim(v')
則 T為同構函數 所以 T:1-1且ONTO
同構成立代表你的T以經滿足1-1且onto了
而你的"T: V→V' dim(v)=dim(v')
則 T為同構函數 所以 T:1-1且ONTO"
這段話是想說同維即同構吧
應該把它改成若dim(V)=dim(V')時
"會存在一個T: V→V'為1-1且ONTO"
造成同構
而定理4-20我覺得你應該是想成已經構成同維哩@@那此T一定是同構的@@其實不一定還要判斷此T,所以4-20才會再多一個1-1<=>onto
來判定
以上小弟想法@@
嗯, 謝謝YAMATO幫忙解釋, 再強調一下, "會存在一個T: V→V'為1-1且ONTO" 這句話裡的"存在"那兩個字很重要, 不可以省略, 因為同維即同構的意思是說如果同維的話, 即存在一個由 V 至 V' 的同構函數, 除了同構函數以外的其它線性函數, 他們的1-1或ONTO性質都是無法確定的, 不在我們的討論範圍之內
所以說假設dim(V)=dim(V'), 不是所有的linear T:V->V'都會是同構函數, 事實上我們可以找到一堆由V至V'不為同構函數, 譬如說只要定義出一個不為1-1的T就好了
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