If A is a orthogonal projection matrix on B and B is subspace of R^m, rank(A)=trace(A).
True:
Because A is orthogonal projection matrix on B, eigenvalues of A are 0s and1s.
For all x in B, Ax=x. So the gm(1)=dim(B). For all y in B^perb =Ax=0. So the gm(0)=dim(B^per).
dim(B)+dim(B^per)=m =gm(1)+gm(0)=m -> A is diagonalizable.
Because A is diagonalizable, trace(A)= gm(1)*1 + gm(0)*0=gm(1) = m - gm(0).
We know gm(0)=nullity(A),so trace(A)=gm(1)= m - nullity(A)=rank(A). In the conclusion, we get the rank(A) = trace(A).
請問上面證明，正確嗎?
還有如果一個矩陣P只是P^2=P (即idempotent matrix)
請問除了ker(P)與Im(P)呈直和，還有什麼性質嗎? 如eigenvalue , rank之類的。
而且應該沒法套用上面的論述吧?
即: If A is a idempotent matrix , rank(A)=trace(A). => False。
最後請問一個matrix P要被稱作orthogonal projection matrix，是不是要P^2=P, 且P^t=P呢?
謝謝~
3 則留言:
自問自答...關於idempotent matrix P的eigenvalues也是只有1 or 0。
證:
若Px= ax , a為P之eigenvalue。
則P^2 x = a^2 x = Px => a^2 =a => a=0 or 1。
所以 P的eigenvalues只能0 或1。
對於eigenvalue 0，P(x)=0，所以x屬於N(P)，gm(0)>=nullity(P)。
對於eigenvalue 1，P(x)=x，所以x屬於R(P)，gm(0)>=rank(P)。
所以P可對角化。
再來If A is a idempotent matrix , rank(A)=trace(A). 為true。
也可以從這推論出 N(P)的基底加上R(P)的基底可生成R^m，且兩基底獨立。所以N(P)與R(P)呈直和。
請問上述論述正確嗎?
也可以從這推論出 N(P)的基底加上R(P)的基底可生成R^m，且兩基底獨立。所以N(P)與R(P)呈直和。 <---這段我證錯了Orz...
因為我在說P可對角化的時候，是基於R(P)與N(P)呈直和去推論出來的。所以不能這樣證
與idempotent相關的推論第5-5節的上課筆記裡應該有, 或參考書上p5-102的定理5-30, rank(A) = trace(A)這題也有寫在這個定理裡
要推直和, 根據Sylvester's 2nd law, 除了書上定理5-29用和生成來證的方法以外, 也可以用老師在講到chap 6的fitting lemma那兒所談的證獨立子空間來推得
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