這題完全看不懂老師寫的= =!! Q2:
A和B選項 是錯的 ,是因為如果要滿足1-1 且ONTO 在不可數的情況下也可以嗎?Q3:
C選項為何是錯的呀!! 既然B都是可數無限了 那A應該也是阿 不然怎麼對?Q4:
N是自然數是一個countable infinite, 那他取2^N會是不可數的嗎?那2^N還是無限的嗎?
是不是任意的可數集取powerset一定會變成不可數的嗎?
PS 自己真的好弱= =
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Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
8 則留言:
Q3的c會錯是不是因為題並未說ONTO
所以未必所有在B中的元素都會被對到
所以如果有ONTO的話就是TRUE囉@@
1. 這是集合論裡很有名的定理, 叫做 Cantor's Theorem, 證明的概念有點像是對角線論證法那樣, 在證明裡我們之所以要定義出那個集合就是在製造一個不會被對應到的set, 來導出這個定理的結論: For any set X, |2^X|>|X|, 這結果看似直觀, 但當 X 為無限集時就很不trivial了
2. 是的, 比方說取 X=R, Y=(0,1)
3. onto算是一個原因, 但是如果再加上onto這個條件, 我們只能確定|A|至少會有|B|那麼多, 那由 B 是無限集我們可以知道 A 一定是無限集, 可是這樣仍然不保證 A 一定會是可數集, 因為它有可能具有比可數集還要大的cardinality, 所以還是false
結論就是, onto算是提供了 A 一個 lower bound, i.e., |B|, 而 one-to-one 則可以提供 B 一個 lower bound, i.e., |A|, 如果兩者都有那就是 |A|=|B| 成立的時候了
4. 根據Q1裡的 Cantor's Theorem, 因為 |2^N|>|N|, 所以 2^N 一定是不可數集, 又 2^N 一定是無限集, 因為它比一個無限集還要大
不是任意的可數集取power set一定會變成不可數, 對一個有限可數集不管取幾次power set他還是有限; 如果是對無限可數集取power set就會形成不可數集 (一樣是根據Q1的那個定理)
p.s. 只要記得在你筆記上有的那句話就好了, 堅持到底, 不要緊張, 不要想太多, 最後的一個多月也是很關鍵的
助教 Q3 要對 是不是要在加上
f is 1-1 ?
好像只要加上1-1 那個選項就對的樣子捏!!
ONTO好像顯得比較不重要!!
因為如果1-1 那保證A一定是可數集才可以全部對到B
XD
Q1:
他的證明我還是不太能接受捏!! 應該是說我不懂他矛盾在哪裡XD
Q3: 就如同我前面所給的結論, 只加 one-to-one 的條件也是不夠, 因為這樣也只說明了 |A| 是 |B| 的 lower bound 而已, 譬如取 A={1}, B=N, f(1)=1 為 1-1 就是一個極端的例子
Q1: 舉個例子, 假設 X={1,2,3,...} 且存在一個 f:X->2^X 為映成函數, 其中 f(1)={3}, f(2)={2,5}, f(3)={1,3,7}, f(4)={4}, f(5)={1,2}, ... 定義 B={a∈X|a∉f(a)}, 那B 裡面會搜集像是 1,5 等元素, 因為 1∉f(1), 5∉f(5), 而 2,3,4 不會屬於 B, 2∈f(2), 3∈f(3), 4∈f(4), 則稍微討論一下就可以知道不存在有 x∈B 使得 f(x)=B, 因為不管 x 會不會屬於 f(x) 都會矛盾我們對於集合 B 的定義, 那既然 B 沒有被對到, 就矛盾了 f 為映成函數
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