請問Least square approximtion 與Least square solution的關係是不是:
若x為一向量，而A為一基底。
求x對span(A)的Least square approximation，即求proj x (也就是 x 映射到 CS(A)上的向量);
而Least square solution則是指，proj x其用A為基底的表示法，即[proj x]_A。
另外，
若有兩個向量空間S與T，且S與T垂直(orthogonal, perpendicular)
除了上述條件外，還要再加上S與T 直和(direct sum)，S與T才可稱作 orthogonal complement。
請問這兩個觀念，對嗎?
謝謝 ~
1 則留言:
1. 用我們一般用的符號來說, 若要求一個向量 b 在 A 的行空間上的投影, 所用的方法就是先求 normal equation (A^T)Ax=(A^T)b, 解出來的 x 即為 least square solution, 則 Ax 即為 b 在 CS(A) 上的投影, 也就是說 x 會 minimize ||Ax-b||
2. 直和是導出來的, 如果 S 與 T 裡面的向量會全部彼此互相垂直, 那根據定義我們就會說兩個向量空間 S, T 互為 orthogonal complement, 直和是在這個定義之下一定會有的結果, 也就是書上p7-95的定理7-23
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