Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
不知道是之前說過的哪一句話讓你誤會了, 不是只有正交投影矩陣才有R(A)垂直N(A^T)的性質, 對於任意一個實矩陣來說, 那四大空間之間的互補關係, 也就是書上p7-100的定理7-26, 是第七章裡很重要很重要的定理, 和是不是投影矩陣沒有關係書上這一題問的是取任一實矩陣A, R(A) 與 N(A^T) 是否會形成直和, 答案是 R^m=R(A)⊕N(A^T) 必定會成立, 因為根據p7-95的定理7-23, 若 W 為 V 的子空間, W 與 W^⊥ 會形成 V 的直和, 那麼因為 R(A)^⊥=N(A^T), 所以 R(A) 與 N(A^T) 會形成 R^m 的直和
謝謝助教的回覆, 那請問為何老師上課常常提到w=cs(a), 和他垂直的就是ker(a)而不是ker(at)?這是有條件的嗎?所以題21改成n(a)就是false囉?
我查到P7-95…P為V在W上的正交投影算子，則ker(P)=W^⊥，所以這個條件就是在正交投影而且是算子時才成立的對嗎？
你好像是把符號搞混了, 符號CS(A)指的就是R(A), 所以CS(A)的orthogonal complement就是N(A^T); RS(A)就是R(A^T), 只是一個是把向量擺成橫的另一個是擺成直的, 所以R^m=R(A)⊕N(A^T)R^n=R(A^T)⊕N(A)至於P7-95, 這個應該是沒甚麼問題,但我其實不太清楚你指的才成立是甚麼意思
Ker(A) = N(A)應該沒錯吧？P7-57定理7-11提到P為W上的正交投影算子，則W=Im(P)=CS(P)=R(P)，那P7-95定理7-22說P為W上的正交投影算子，則ker(P)= W^⊥，ker(P)= N(A)，所以在"正交投影算子"這個條件下CS(P)=R(P)才跟Ker(P)=N(P)垂直，對嗎？我現在了解任一實矩陣A，R(A)=CS(A)會垂直於N(A^T)，但我現在的問題是什麼狀況下，會產生老師上課常提到的CS(A)垂直於Ker(A)而不是上述的R(A)垂直N(A^T)= Lker(A)麻煩你了助教
是的, 我了解你的問題了In general 任給一個矩陣 A,F^m = R(A)⊕N(A^T)F^n = R(A^T)⊕N(A)以上這兩個是一定會發生的當 A:nxn 為投影矩陣, 才會有F^n = CS(A)⊕Ker(A)這個性質就是投影算子上比較特別的地方, 細節請參考P5-102, 老師在第六章教到kernel chain時, 也有提到這和 Ker(A^2)=Ker(A) 的性質有關
嗯嗯~~我完全了解了~~謝謝
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不知道是之前說過的哪一句話讓你誤會了, 不是只有正交投影矩陣才有R(A)垂直N(A^T)的性質, 對於任意一個實矩陣來說, 那四大空間之間的互補關係, 也就是書上p7-100的定理7-26, 是第七章裡很重要很重要的定理, 和是不是投影矩陣沒有關係
書上這一題問的是取任一實矩陣A, R(A) 與 N(A^T) 是否會形成直和, 答案是 R^m=R(A)⊕N(A^T) 必定會成立, 因為根據p7-95的定理7-23, 若 W 為 V 的子空間, W 與 W^⊥ 會形成 V 的直和, 那麼因為 R(A)^⊥=N(A^T), 所以 R(A) 與 N(A^T) 會形成 R^m 的直和
謝謝助教的回覆, 那請問為何老師上課常常提到w=cs(a), 和他垂直的就是ker(a)而不是ker(at)?這是有條件的嗎?所以題21改成n(a)就是false囉?
我查到P7-95…P為V在W上的正交投影算子，則ker(P)=W^⊥，所以這個條件就是在正交投影而且是算子時才成立的對嗎？
你好像是把符號搞混了, 符號CS(A)指的就是R(A), 所以CS(A)的orthogonal complement就是N(A^T); RS(A)就是R(A^T), 只是一個是把向量擺成橫的另一個是擺成直的, 所以
R^m=R(A)⊕N(A^T)
R^n=R(A^T)⊕N(A)
至於P7-95, 這個應該是沒甚麼問題,
但我其實不太清楚你指的才成立是甚麼意思
Ker(A) = N(A)應該沒錯吧？P7-57定理7-11提到P為W上的正交投影算子，則W=Im(P)=CS(P)=R(P)，那P7-95定理7-22說P為W上的正交投影算子，則ker(P)= W^⊥，ker(P)= N(A)，所以在"正交投影算子"這個條件下CS(P)=R(P)才跟Ker(P)=N(P)垂直，對嗎？
我現在了解任一實矩陣A，R(A)=CS(A)會垂直於N(A^T)，但我現在的問題是什麼狀況下，會產生老師上課常提到的CS(A)垂直於Ker(A)而不是上述的R(A)垂直N(A^T)= Lker(A)
麻煩你了助教
是的, 我了解你的問題了
In general 任給一個矩陣 A,
F^m = R(A)⊕N(A^T)
F^n = R(A^T)⊕N(A)
以上這兩個是一定會發生的
當 A:nxn 為投影矩陣, 才會有
F^n = CS(A)⊕Ker(A)
這個性質就是投影算子上比較特別的地方, 細節請參考P5-102, 老師在第六章教到kernel chain時, 也有提到這和 Ker(A^2)=Ker(A) 的性質有關
嗯嗯~~我完全了解了~~謝謝
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