P3-59 EX1 (e)The kernel of the transformation T(x,y,z) = (0,y,0) of R3 -> R2 is 2
這題怎麼看起來怪怪的，R2怎會有(0,y,0)？ is 2是問dimension嗎？
課本P3-110 EX107 (c)n個元素. How many of them are reflexive but not antisymmetric？
這題答案是2^(n^2-n) - 3^(c(n 2))，可是我怎麼想都想不透，對角線都是1又扣掉對稱的地方00,01,10的可能性，不就只剩全都1了嗎？那不是剩1種？
4 則留言:
1. 對, 題目少打了, 應該是 "The dimension of the kernel of ...", 這題是true, 因為 T(x,y,z)=(0,0,0) => y=0, 所以取{(1,0,0),(0,0,1)}會生成整個ker(T), 則dim(Ker(T))=2
2. 那c(n,2)個pair中, 如果不存在有11這一組pair出現, 這個relation就具有antisymmetric, 那因為pair可以是00,01,10, 所以所有的可能就會有3^c(n,2), 書上就是拿全部符合reflexive的relation總數再去排除掉其中具有antisymmetric的所有可能
換句話說, 只要那c(n,2)個pair中有一組是11, 那這個relation就不具antisymmetric, 所以這題也可以直接算反身和不具反對稱的交集, 也就是所有reflexive且具有pair 11的情形:
令 m = c(n,2),
m組中有 1 組pair為11, 共有 c(m,1)*3^(m-1) 種
m組中有 2 組pair為11, 共有 c(m,2)*3^(m-2) 種
...
m組中有 m 組pair為11, 共有 c(m,m)*3^(m-m) 種
所以全部加起來就是
m
Σ c(m,i)*3^(m-i) - 3^m
i=0
m
=Σ c(m,i)*3^i - 3^m = 4^m-3^m
i=0
謝謝助教的解答
有關第1題的部份我還是有些疑問，R2的空間會有(0,y,0)這種向量？不是只有(x,y)這種嗎？
另外一題相關的是R7空間，N(A)=R3，老師說看到R3就直接打叉了，這是因為R7裡沒有R3空間？還是說"不見得"是R3呢？R7裡都是(a,b,c,d,e,f,g)這種向量嗎？還是也有(x,y,z)或是都長成(x,y,z,0,0,0,0)這種樣子
嗯, 那邊題目也出錯了, 你的觀念沒問題的, R^2要改成R^3, 如過是要映射到R^2, 那應該要定義成類似像是T(x,y,z)=(0,y)這樣
R7裡都是(a,b,c,d,e,f,g)這種向量, (x,y,z)是屬於R^3, (x,y,z,0,0,0,0)是屬於R^7, R^7和R^3之間沒有關係
謝謝助教, 我了解了
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