Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
我還想在加問幾個問題就是我今天和我同學都被卡在Im(T) 跟 R(A) 這個迴圈裡面ˊˋ麻煩助教了
助教我剛剛又有一個想法就是說 R(A)是對應到下面那一塊 而N(A)也會是對應到下面那一塊 所以才要取N(A^T)才會是R(A)的ㄆ嗎?那如果這想法是對的 那R(A^T)是會是對應到哪邊呢?
助教 R(A^T) 是不是對應到那張圖的與他垂直的那一塊平面呢?
那是因為P的矩陣表示法是投影矩陣，所以會滿足P^T=P才會是剛好你說的R(A)^per = N(A^T)=N(A)
您的意思是說因為P是投影矩陣 所以 Im(p)屬於W則 ker(P^T)會是屬於W的per又因為是投影矩陣的關係 所以ker(P^T)=ker(P)嗎?
那如果這樣觀念是對的 那這樣W會等於W的per對吧
如果P是正交投影矩陣的話, 就像你在原問題裡所敘述的, 那兩個觀念都沒有錯, R(P)^⊥=N(P) 與 R(P)^⊥=N(P^T) 並不矛盾, i.e., N(P)=N(P^T), 其中 R(P)^⊥=N(P^T) 是一般性的情況, R(P)^⊥=N(P) 則是 P^2=P 這種矩陣比較特別的地方如同GamesWang同學所說的, N(P)=N(P^T) 這個結論其實從原本正投影矩陣的定義亦可看出因為 P^T=P => N(P^T) = N(P) = W^⊥, 同理 R(P^T) = R(P) = W
哦哦 那助教我還有一個問題就是說R(A)是指老師上課畫圖的下面那塊對吧@@那R(A^T)是跟下面那一塊垂直的面嗎?
不是, 兩個都是 W就是我剛剛最後一行寫的那個結果Note: 在 R^3 裡不會有一個面與另一個面垂直
那助教這樣的話 在後面的定裡有兩條,而且A並不是投影矩陣吧R(A)的per=N(A^T)R(A^T)的per=N(A)既然R(A)和R(A^T)都是W那N(A)應該等於N(A^T)吧!!
R(A)和R(A^T)都是W是說在A是投影矩陣的情況R(A)^per = N(A^T)R(A^T)^per = N(A)這兩條是指所有矩陣投影矩陣因為滿足A^T = A所以變成R(A^T) = R(A)又R(A) = W所以R(A^T) = R(A) = W
投影矩陣的地方我都懂 R(A)的per=N(A^T)R(A^T)的per=N(A)是對所有的矩陣 所以A應該不是投影矩陣吧?既然R(A)和R(A^T)都是W那N(A)應該等於N(A^T)吧!! << 問題所在ＸＤ
我認為如果A不是投影矩陣那R(A)和R(A^T)不一定一樣, 助教會說相等是因為你問了投影矩陣這樣借題請問一下極小解AA^Tx=b, 請問這裡的x屬於哪個空間? 是N(A^T)還是..? 謝謝
對阿彌生我的問題就是這樣ˊˋ因為A不是投影矩陣那R(A)不會等於R(A^T) 那老師上課畫的圖是說R(A)是下面那一塊那R(A^T)呢?我覺得你那題極小解的問題應該是R(A^T)
不好意思讓你誤會了, 因為在你原來的問題裡的A為正交投影, 所以我前面所說的都只是針對正交投影的case在討論的; 在一般的情形下, column space和row space顯然不會有甚麼特別的關係, 他們甚至有可能根本就分別是包含於不同空間(R^m和R^n)的subspace, 兩者完全不能混為一談, 自然也就不會有R(A)=R(A^T)這樣的式子出現To 彌生: 假設 B=AA^T, 那麼這裡的 (AA^T)x=b 就只是一個很普通的線性系統 Bx=b 而已, 不是甚麼很複雜的東西, 所以這裡我們只能說是 x 屬於 R^m (因為 B:mxm), x 可以是從 Bx=b 的解集合裡取出來的任何一個向量 (根據定理)
那助教:救今天我和好幾個同學都在討論說既然R(A)是下面那一塊W 那我們都有一個疑問是說那R(A^T)是與W垂直的那一塊嗎?
我幫你綜合前面同學們幫忙回答的把結論直接寫出來好了:1. 如果是普通的 A, R(A)和R(A^T)沒有任何關係2. 如果 A 為正交投影矩陣, R(A)等同於R(A^T)
恩 那我想知道R(A)的per為什麼會是N(A^T)如果以那張圖來看 R(A)是W 那為何他的per會是N(A^T)而不是N(A)老師雖然有證 但是我想清楚知道他的幾何概念
我們所認識的幾何通常跳脫不了3維空間, 超過3維, 我們連甚麼是兩個向量的垂直, 可能都不太能用意像來解讀了, 還有像是兩個平面互相垂直的這種概念, 我們也很難畫出一個示意圖來表示這它, 所以我是覺得, 有時候不是甚麼東西都有辦法討論幾何意義的, 因為我們很難跳脫出3度的思維如果你還是覺得R(A)^per=N(A^T)證明讓你很沒有辦法接受, 再翻譯一下證明的內容給你看: 假設 x^t∈N(A^T), xA=0, 因為 xA 就是把 x 對 A 的每一行做內積的結果照順序排下來, 那麼 xA=0 的意思就是 x 和 A 的每一行做內積都是 0, 也就是說 x 與 A 的每一行都垂直, 所以 x∈R(A)^per, 反過來是一樣的, 希望你會覺得這樣有比較直覺一些, 我最多也只能回答到這樣了
恩 3Q助教了
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我還想在加問幾個問題
就是我今天和我同學都被卡在
Im(T) 跟 R(A) 這個迴圈裡面ˊˋ
麻煩助教了
助教我剛剛又有一個想法
就是說 R(A)是對應到下面那一塊 而N(A)也會是對應到下面那一塊 所以才要取N(A^T)才會是R(A)的ㄆ嗎?
那如果這想法是對的 那R(A^T)是會是對應到哪邊呢?
助教 R(A^T) 是不是對應到那張圖的與他垂直的那一塊平面呢?
那是因為P的矩陣表示法是投影矩陣，所以會滿足P^T=P才會是剛好你說的R(A)^per = N(A^T)=N(A)
您的意思是說
因為P是投影矩陣 所以 Im(p)屬於W
則 ker(P^T)會是屬於W的per
又因為是投影矩陣的關係 所以
ker(P^T)=ker(P)嗎?
那如果這樣觀念是對的 那這樣W會等於W的per對吧
如果P是正交投影矩陣的話, 就像你在原問題裡所敘述的, 那兩個觀念都沒有錯, R(P)^⊥=N(P) 與 R(P)^⊥=N(P^T) 並不矛盾, i.e., N(P)=N(P^T), 其中 R(P)^⊥=N(P^T) 是一般性的情況, R(P)^⊥=N(P) 則是 P^2=P 這種矩陣比較特別的地方
如同GamesWang同學所說的, N(P)=N(P^T) 這個結論其實從原本正投影矩陣的定義亦可看出
因為 P^T=P => N(P^T) = N(P) = W^⊥,
同理 R(P^T) = R(P) = W
哦哦 那助教我還有一個問題就是說
R(A)是指老師上課畫圖的下面那塊對吧@@
那R(A^T)是跟下面那一塊垂直的面嗎?
不是, 兩個都是 W
就是我剛剛最後一行寫的那個結果
Note: 在 R^3 裡不會有一個面與另一個面垂直
那助教這樣的話
在後面的定裡有兩條,而且A並不是投影矩陣吧
R(A)的per=N(A^T)
R(A^T)的per=N(A)
既然R(A)和R(A^T)都是W那N(A)應該等於N(A^T)吧!!
R(A)和R(A^T)都是W是說在A是投影矩陣的情況
R(A)^per = N(A^T)
R(A^T)^per = N(A)
這兩條是指所有矩陣
投影矩陣因為滿足A^T = A
所以變成
R(A^T) = R(A)
又R(A) = W
所以R(A^T) = R(A) = W
投影矩陣的地方我都懂
R(A)的per=N(A^T)
R(A^T)的per=N(A)
是對所有的矩陣 所以A應該不是投影矩陣吧?
既然R(A)和R(A^T)都是W那N(A)應該等於N(A^T)吧!! << 問題所在ＸＤ
我認為如果A不是投影矩陣那R(A)和R(A^T)不一定一樣, 助教會說相等是因為你問了投影矩陣這樣
借題請問一下極小解AA^Tx=b, 請問這裡的x屬於哪個空間? 是N(A^T)還是..? 謝謝
對阿彌生
我的問題就是這樣ˊˋ因為A不是投影矩陣
那R(A)不會等於R(A^T)
那老師上課畫的圖是說R(A)是下面那一塊那
R(A^T)呢?
我覺得你那題極小解的問題應該是R(A^T)
不好意思讓你誤會了, 因為在你原來的問題裡的A為正交投影, 所以我前面所說的都只是針對正交投影的case在討論的; 在一般的情形下, column space和row space顯然不會有甚麼特別的關係, 他們甚至有可能根本就分別是包含於不同空間(R^m和R^n)的subspace, 兩者完全不能混為一談, 自然也就不會有R(A)=R(A^T)這樣的式子出現
To 彌生: 假設 B=AA^T, 那麼這裡的 (AA^T)x=b 就只是一個很普通的線性系統 Bx=b 而已, 不是甚麼很複雜的東西, 所以這裡我們只能說是 x 屬於 R^m (因為 B:mxm), x 可以是從 Bx=b 的解集合裡取出來的任何一個向量 (根據定理)
那助教:
救今天我和好幾個同學都在討論說
既然R(A)是下面那一塊W 那我們都有一個疑問是說那R(A^T)是與W垂直的那一塊嗎?
我幫你綜合前面同學們幫忙回答的
把結論直接寫出來好了:
1. 如果是普通的 A, R(A)和R(A^T)沒有任何關係
2. 如果 A 為正交投影矩陣, R(A)等同於R(A^T)
恩 那我想知道R(A)的per為什麼會是N(A^T)
如果以那張圖來看 R(A)是W 那為何他的per會是N(A^T)而不是N(A)
老師雖然有證 但是我想清楚知道他的幾何概念
我們所認識的幾何通常跳脫不了3維空間, 超過3維, 我們連甚麼是兩個向量的垂直, 可能都不太能用意像來解讀了, 還有像是兩個平面互相垂直的這種概念, 我們也很難畫出一個示意圖來表示這它, 所以我是覺得, 有時候不是甚麼東西都有辦法討論幾何意義的, 因為我們很難跳脫出3度的思維
如果你還是覺得R(A)^per=N(A^T)證明讓你很沒有辦法接受, 再翻譯一下證明的內容給你看: 假設 x^t∈N(A^T), xA=0, 因為 xA 就是把 x 對 A 的每一行做內積的結果照順序排下來, 那麼 xA=0 的意思就是 x 和 A 的每一行做內積都是 0, 也就是說 x 與 A 的每一行都垂直, 所以 x∈R(A)^per, 反過來是一樣的, 希望你會覺得這樣有比較直覺一些, 我最多也只能回答到這樣了
恩 3Q助教了
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