課本上的證明是從∀ u ∈ V(λ) 證到最後為 T(u) ∈ V(λ)
所以T(V(λ)) 包含於 V(λ) ， 最常看到的都是從
∀ u ∈ T(V(λ)) 證到 ∀ u ∈ V(λ) ， 可否幫忙說明一下
∀ u ∈ V(λ) 證到最後為 T(u) ∈ V(λ) 的原理是？
2.A 為 n*n matrix，第一行=[0000000...-ao]，第二行=[100000....-a1]
第三行=[010000....-a2]....，A的特徵多項式為(-1)^n * (a0 + a1 * x + ... + an-1 * x^n-1 * x^n)
這題是用數學歸納法證明，請問為何n=k-1時，
(-1)^k-1 * ( a1 + a2 * x + .... + an-1 * x^k-2 + x^k-1 )
a0不見了？ 而是從a1開始？
3.A is an n*n matrix , and A=I-1/n*1*1'，1為n-component
column vector all elements equal to 1
請問為何1'為1的轉置？不會跟微分搞混嗎？雖然微分變成0矩陣
3 則留言:
1. 一個 subspace W 為 T-invariant 的意義就是對於所有在 W 裡的向量 u, T(u) 都還是會落在 W 裡面, 所以欲證 V(λ) 為 T-invariant, 就相當於是證明 T 對於每一個相對於λ的 eigenvector 作用之後的那個向量依然還會是 eigenvector, 那麼根據 V(λ) 的定義, 一個向量 v 會落在 V(λ) 裡的意思就是 T(v)=λv, 所以要證明 v=T(u) 屬於 V(λ), 就相當於是要證明 T(T(u))=λT(u)
2. 因為我們下面在證 n=k 時是要對第一列做展開, 所以在這邊討論 n=k-1 時的狀況時, 砍掉第一列第一行來算出來的行列式才會是我們後面要用到的, 而不是砍掉最後一列與最後一行, 另外這裡書上有點筆誤要稍微改一下, p5-52第一行等號後面應改成 (-1)^(n-1)*(a1 + a2*x + ... + a_(k-1)*x^(k-2) + x^(k-1))
3. 有些書會將 A 的 transpose 記作 A', 特別是在統研所的考題中會時常看到這個符號
上面還是有點打錯, 應改成
(-1)^(k-1)*(a1 + a2*x + ... + a_(k-1)*x^(k-2) + x^(k-1))
1.了解了，一直在注意包含於，忘了不變子空間的定義
2.原來行列式也可以這樣取，了解
感謝助教的解答
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