如題，請問 "m個相異物放入n個相異箱子" 允許空箱的方法數
如果我的想法是：每個物品有n個箱子可以選擇，所以方法數為n^m
這樣是對的嗎？
如果是對的，那求 "m個相異物放入n個相同箱子" 允許空箱的方法數
「為什麼」不是 n^m / n! 呢？
如果我的想法是：每個物品有n個箱子可以選擇，所以方法數為n^m
這樣是對的嗎？
如果是對的，那求 "m個相異物放入n個相同箱子" 允許空箱的方法數
「為什麼」不是 n^m / n! 呢？
Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
1 則留言:
第一件事是對的, "m個相異物放入n個相異箱子" 允許空箱的方法數為n^m, 至於為什麼不能直接除以 n!, 是因為在不onto的情況下, 你在考慮要除以 n! 的時候, 事實上是把很多的空箱也視為是相異的, 所以會除掉太多
或者我們把它反過來想, 舉例來說, 假設現有 a,b,c 這三個相異物要丟到 x,y,z, 先考慮箱子視為是相同的情形, 也就是形成的分割為 a|b|c, 那麼假設現在要考慮這三個分割是有序的, 那就直接乘以 3! 沒問題, 可是當如果今天分割是 abc|ϕ|ϕ, 也就是說三個物品都同放在同一箱中, 那麼現在如果箱子要視為相異, 結果會變成像是 abc->x, ϕ->y, ϕ->z 和 abc->x, ϕ->z, ϕ->y 都各被算了一遍, 但我們原先在考慮 n^m 時本來就沒有區分這兩種狀況, 所以結論就是我們還是得要先確定有 k 個箱子不為空, 然後才來除以 k!, 而這樣的概念也和方法數為 s(m,1)+s(m,2)+...+s(m,n) 這個式子的概念是相通的
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