線代下
P5-151
倒數第5行
則X2+6X+9I=f(X)=...
怎麼推出來的？
P5-72
例33
解的倒數第三行
...因為am(入1)+am(入2)+am(入3)小於等於8
為什麼不是等於？
P5-79
定理5-24
若A, B可同步對角化，則AB=BA
定理5-25
假設A, B皆可對角化 iff AB=BA
這兩個定理的差別是？
另想請問AB=BA的性質除特徵根，特徵多項式一樣之外還有哪些？
P5-122例48
最後答案
-1/2 -3/2
1 3/2
右上角的答案似乎是-3/4 ？
3 則留言:
p5-151: 倒數第五行應改成 :
則 A^2-3A+I = f(A) = f(PSP^-1) = Pf(S)P^-1
P5-72 例33:
在實數時寫等於沒問題, 因為特徵多項式可split, 但如果不是的話, 就有可能會發生eigenvalue不夠, 貢獻不了那麼多重數的情形, 所以in general寫小於等於是比較恰當的
P5-79: 在定理5-25中, A,B 皆可對角化是一個關鍵的條件, 那兩個定理的差異主要就在於注意事項5-24裡所提醒的, 若只有AB=BA的條件, 不一定保證A,B可同步對角化, 但如果再多加一個已知A,B皆可對角化的條件, 則定理5-24的逆命題就會成立; 習題5-147也有一個概念與這個有點關聯, 也許不是很重要, 但若你有興趣的話可以稍微看一下
p5-122: 你算得沒錯
A,B可同步對角化
不就隱含了A,B皆可對角化？
所以定理5-25主要是用在AB=BA時
加上A,B皆可對角化
則A,B可同步對角化
這樣理解對嗎？
反推回去似乎比較能理解其差異性
習題5-147
為什麼要先證V(入)是B-invariant？
另：這題是否相當於定理5-24的(1)？
1. 對, A,B可同步對角化代表A,B皆可對角化, 所以在定理5-25考慮=>這個方向時, 這裡給的條件其實就跟定理5-24一樣多, 則顯然成立, 所以這條件主要是用來保證在定理5-24裡考慮逆命題時所得不到的那個結果, 那麼綜合來說, 就是得先有A,B皆可對角化這樣的條件, 才能保證A,B可同步對角化和AB=BA這兩件事是等價的
2. [習題5-147] 先得證明V(λ)為B-invariant, 才能找出那個縮小定義域的linear transformation B_V(λ), 那麼利用 B_V(λ) 來找出一個 B 的 eigenvector 即為 A 的 eigenvector; 要注意的是這裡只是存在有至少一個相同的eigenvector而已, 並不像是可同步對角化那樣可以找到全部都一樣的eigenvector, 所以這反而比較像是在呼應定理5-25的(1), 主要還是因為A,B可對角化會保證eigenspace的維度一定夠我們來取足夠的common vector, 這樣講好像有點抽象, 但觀念上大致是這樣了
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