Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
1. partition P={[(1,6)],[(2,6)],[(3,6)],[(4,6)],[(5,6)],[(6,6)],[(6,5)],[(6,4)],[(6,3)],[(6,2)],[(6,1)]}, 其中[(i,j)]就是(i,j)的等價類, 在這個等價類中的每個pair的左邊減右邊差值加為i-j2. 這兩個矩陣的特徵多項式同為x^2-5x+7, 所以eigenvalue皆相同, 且重數皆為1, 因為Jordan from相同所以會相似3. coordinate: 假設basis B={B1,...,B4}, A={A1,...,A4}, 令 M transition matrix from B to A, 要找到一個向量 v 在這兩組基底之下的座標皆相同, 相當於解 Mv=v, 那麼由 M 相對於1的eigenspace中取出 v=(-1,-1,-1,1) 即為所求4. inner product: a,b,c要不全為零, 才能滿足正定性5. hamiltonian path: True, 造Gray code可證明n-cube具Hamiltonian cycle, 所以n-cube具Hamiltonion path
感謝助教~我想請問 Compute the partition of B, B/R. 關於這題B和B/R是什麼意思?另外相似那題,因為x解出來有複數,所以不知道如何做jordan form麻煩再指導一下了 感謝
1. B 就是 A 的cartesian product, B/R我想可能是他用來表示partition的符號 (也就是 B 在 R 之上所形成的partition)2. 這裡的eigenvalue和eigenvector其實都不用真的算出來就可以知道他們的Jordan form會一樣了; 因為那兩個根a和b是相異的, 所以 J 就是做對角化出來的結果, i.e., J=[a 0;0 b]
請問特徵多項式有相異根,就會保證jordan form相同嗎?還是需要額外什麼條件?感謝~
eigenvalue全相異一定可以對角化, 所以那兩個矩陣皆可對角化, 且那兩個矩陣做對角化所算出來的對角矩陣會是一樣的, 而因為若一個矩陣可以做對角化, 那麼我們算出來的對角矩陣就一定就是他的Jordan form, 所以才說他們兩個的Jordan form一樣如過你不熟Jordan form的觀念也沒關係, 我們就直接用chap5相似的定義來看, 假設 A=PDP^-1, B=QDQ^-1 => A = PDP^-1 = P(Q^-1BQ)P^-1 = (QP^-1)^-1B(QP^-1), 所以 A 相似於 B對了, 剛剛發現內積那題我打錯了, 應該是a,b,c皆大於零才能滿足正定性
懂了,謝謝助教
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1. partition P={[(1,6)],[(2,6)],[(3,6)],[(4,6)],[(5,6)],[(6,6)],[(6,5)],[(6,4)],[(6,3)],[(6,2)],[(6,1)]}, 其中[(i,j)]就是(i,j)的等價類, 在這個等價類中的每個pair的左邊減右邊差值加為i-j
2. 這兩個矩陣的特徵多項式同為x^2-5x+7, 所以eigenvalue皆相同, 且重數皆為1, 因為Jordan from相同所以會相似
3. coordinate: 假設basis B={B1,...,B4}, A={A1,...,A4}, 令 M transition matrix from B to A, 要找到一個向量 v 在這兩組基底之下的座標皆相同, 相當於解 Mv=v, 那麼由 M 相對於1的eigenspace中取出 v=(-1,-1,-1,1) 即為所求
4. inner product: a,b,c要不全為零, 才能滿足正定性
5. hamiltonian path: True, 造Gray code可證明n-cube具Hamiltonian cycle, 所以n-cube具Hamiltonion path
感謝助教~
我想請問 Compute the partition of B, B/R. 關於這題B和B/R是什麼意思?
另外相似那題,因為x解出來有複數,所以不知道如何做jordan form
麻煩再指導一下了 感謝
1. B 就是 A 的cartesian product, B/R我想可能是他用來表示partition的符號 (也就是 B 在 R 之上所形成的partition)
2. 這裡的eigenvalue和eigenvector其實都不用真的算出來就可以知道他們的Jordan form會一樣了; 因為那兩個根a和b是相異的, 所以 J 就是做對角化出來的結果, i.e., J=[a 0;0 b]
請問特徵多項式有相異根,就會保證jordan form相同嗎?還是需要額外什麼條件?
感謝~
eigenvalue全相異一定可以對角化, 所以那兩個矩陣皆可對角化, 且那兩個矩陣做對角化所算出來的對角矩陣會是一樣的, 而因為若一個矩陣可以做對角化, 那麼我們算出來的對角矩陣就一定就是他的Jordan form, 所以才說他們兩個的Jordan form一樣
如過你不熟Jordan form的觀念也沒關係, 我們就直接用chap5相似的定義來看, 假設 A=PDP^-1, B=QDQ^-1
=> A = PDP^-1 = P(Q^-1BQ)P^-1 = (QP^-1)^-1B(QP^-1), 所以 A 相似於 B
對了, 剛剛發現內積那題我打錯了, 應該是a,b,c皆大於零才能滿足正定性
懂了,謝謝助教
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