Let A and B be n*n matrices with property Ax=Bx for all x屬於Rn Show that A=B
這題不太會有大大會證明嗎
pai 提到...
感覺上是這樣因為所有x屬於Rn都可讓Ax=Bx取x=e_i, for i=1 to n也就是 Ae_i=Be_i =>A_i=B_i=>A和B的每一行都一樣所以A=B
若拙 提到...
我發覺 好像也不是這樣
耶假設A=[(0,-1),(0,1)]B=[(0,1),(0,-1)]x=[1,1]
則Ax=Bx但是A 不等於 B 呢
因為x是行向量相加不代表A等於B
我的看法是 false
有大大其他看法嗎?
5 則留言:
我想你可能搞錯e_i的意思了
e_i代表只有第i個element是1
其他都是0
你舉的例子
取e_1={1,0}^t
則Ae_1不會等於Be_1
你可以在想想看
這題應該是true
你舉的例子並不等於喔~~"
我就是說不等於 才說FALSE?
我邏輯出錯了嗎
AX=Bx
A=B
不是錯的嗎???
你舉的例子在此不成立是因為你只取了一個 x 使得 Ax=Bx, 可是題目的陳述是對所有的 x, Ax=Bx, 所以若你想找反例, 先決條件應該是要把所有的 x 都列出來然後說明 Ax=Bx, 只取一個 x 是不夠的; 而這裡因為pai同學的證明並沒有問題, 所以你應該也找不到反例了
事實上這題也可以這樣證:
若 Ax=Bx, for all x in R^n,
=> (A-B)x=0, for all x
=> A-B=0 => A=B
我好像有點懂了 因為FOR ALL
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