Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
1. 以某面與其對面中心點連接線為軸旋轉，有三個軸，每個軸有三種角度可旋轉。2. 以某邊其斜對邊中心點連接為軸旋轉，共有六個軸，每軸只有一種角度可轉(就是翻轉)。3. 以某角與其斜對角頂點連接為軸旋選，共有四個軸，每軸有兩種角度可轉。以上各種轉法，加上恆等排列，其實用burnside定理就可以做了。我覺得第三點不大容易想的到，我自己在腦中空想是不知如何轉。自己拿個方塊轉轉看，有魔術方塊最好，因為形狀做的比較正，而且六面有塗色。式子就不列了，難的地方在於找出對稱群，列式子都有固定的方法。
1. 旋轉的種類和書上那個對立方體的點的旋轉是一樣的, 只是cycle structure會不一樣, 你可以自己觀察一下, 最後的cycle index為 ((x_1^6) + 3(x_1^2)(x_2^2) + 6(x_1^2)(x_4) + 6(x_2^3) + 8(x_3^2))/24, 再把x_i用c_1^i,c_2^i,...,c_6^i代入之後, 因為只有 (c_1+c_2+...+c_6)^6 會產生 (c_1 c_2 ... c_6) 這一項, 其係數為 6!, 所以總數就是 6!/24=302. 不是, 他是投影在per(span{γ}), 所以應該是先算出α+β投影在span{γ}的向量 u=(0,-1,-1) 後, 再去求出 v = (α+β)-u = (2,1,-1), v 為 projection of α+β along γ
請問助教,你給的答案裡6(x_2^3)這是changyau chen 說的這點吧?2. 以某邊其斜對邊中心點連接為軸旋轉，共有六個軸，每軸只有一種角度可轉(就是翻轉)。請問為什麼不是6(x_1^2)(x_2^2)?假設正方體有前後上下左右6個面以"前"這個面的"左"邊的中心連到"後"這個面的"右"邊中心為軸旋轉180旋轉180之後,應該是左跟右一樣上跟下一樣,前,後這樣吧麻煩助教了 感謝
我們用魔術方塊的術語來看。F 前面B 後面L 左面R 右面U 上面D 下面按照你說的轉法，轉完之後，U D會對調，F L會對調，R B會對調。所以共三組的兩面對調，Cycle index是(x_2^3)。手上有方塊的話，把兩手食指放在旋轉軸的兩端夾住方塊，轉一下就明白了。如果題目是問你六面都需不同色，那就更簡單了，不用列cycle index。因為六面不同色，只要一轉就會變成不同排列，所以除了恆等排列之外，並不存在有什麼「在排列群的元素作用之下不變」的塗法。排列群共有24個元素，而且只有恆等排列可以做到「在排列群元素的作用之下不變」，所以只有6!/24種塗法。polya算術算是一種生成函數，生成函數的目的就是提供一個有系統的方法一個一個的來數，既不會重複也不會漏勾(台語)，其實可以說是設計給電腦用的方法。換句話說，如果burnside定理可以簡單的處理，那還是用burnside定理會比較快。
謝謝回答^^,3D概念不大好...
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1. 以某面與其對面中心點連接線為軸旋轉，有三個軸，每個軸有三種角度可旋轉。
2. 以某邊其斜對邊中心點連接為軸旋轉，共有六個軸，每軸只有一種角度可轉(就是翻轉)。
3. 以某角與其斜對角頂點連接為軸旋選，共有四個軸，每軸有兩種角度可轉。
以上各種轉法，加上恆等排列，其實用burnside定理就可以做了。我覺得第三點不大容易想的到，我自己在腦中空想是不知如何轉。自己拿個方塊轉轉看，有魔術方塊最好，因為形狀做的比較正，而且六面有塗色。式子就不列了，難的地方在於找出對稱群，列式子都有固定的方法。
1. 旋轉的種類和書上那個對立方體的點的旋轉是一樣的, 只是cycle structure會不一樣, 你可以自己觀察一下, 最後的cycle index為 ((x_1^6) + 3(x_1^2)(x_2^2) + 6(x_1^2)(x_4) + 6(x_2^3) + 8(x_3^2))/24, 再把x_i用c_1^i,c_2^i,...,c_6^i代入之後, 因為只有 (c_1+c_2+...+c_6)^6 會產生 (c_1 c_2 ... c_6) 這一項, 其係數為 6!, 所以總數就是 6!/24=30
2. 不是, 他是投影在per(span{γ}), 所以應該是先算出α+β投影在span{γ}的向量 u=(0,-1,-1) 後, 再去求出 v = (α+β)-u = (2,1,-1), v 為 projection of α+β along γ
請問助教,你給的答案裡6(x_2^3)
這是changyau chen 說的這點吧?
2. 以某邊其斜對邊中心點連接為軸旋轉，共有六個軸，每軸只有一種角度可轉(就是翻轉)。
請問為什麼不是6(x_1^2)(x_2^2)?
假設正方體有前後上下左右6個面
以"前"這個面的"左"邊的中心連到
"後"這個面的"右"邊中心為軸旋轉180
旋轉180之後,應該是左跟右一樣
上跟下一樣,前,後這樣吧
麻煩助教了 感謝
我們用魔術方塊的術語來看。
F 前面
B 後面
L 左面
R 右面
U 上面
D 下面
按照你說的轉法，轉完之後，U D會對調，F L會對調，R B會對調。所以共三組的兩面對調，Cycle index是(x_2^3)。手上有方塊的話，把兩手食指放在旋轉軸的兩端夾住方塊，轉一下就明白了。
如果題目是問你六面都需不同色，那就更簡單了，不用列cycle index。因為六面不同色，只要一轉就會變成不同排列，所以除了恆等排列之外，並不存在有什麼「在排列群的元素作用之下不變」的塗法。排列群共有24個元素，而且只有恆等排列可以做到「在排列群元素的作用之下不變」，所以只有6!/24種塗法。
polya算術算是一種生成函數，生成函數的目的就是提供一個有系統的方法一個一個的來數，既不會重複也不會漏勾(台語)，其實可以說是設計給電腦用的方法。換句話說，如果burnside定理可以簡單的處理，那還是用burnside定理會比較快。
謝謝回答^^,3D概念不大好...
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