令 e_k 為只有第 k 項為 1, 其他項為 0 的 vector For every diagonal element d_k, d_k = A_k,k = ((e_k)^T)A(e_k) > 0, for k=1,2,...,n Let A_i,j = A_j,i = b be the largest entry, i≠j => b ≧ d_k, for all k
If b is not on the diagonal, consider y=[b*(e_i) -b(e_j)]^T => (y^T)Ay = (b^2)(d_i) - 2(b^3) + (b^2)(d_j) = (b^2)(d_i - 2b + d_j) ≦ 0, -><-
13 則留言:
第一題 flase
反例
5*5矩陣
1 1 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
rank是3 但是對角線上只有2個1
第二題
false
假是B是0矩陣
A還有可能等於C嗎?
第三題
A是正定 A的最大元素的需要在對角線上
我猜FALSE
印象中沒有這神奇的定理
以上有錯誤請指教
請問第二題的題意是不是 AB=BA BC=CB
問AC是否等於CA @@ ?
我是猜這樣啦XD
因為commute是指交換
如果不是這意思 我還真搞不懂題目要幹嘛orz
第三題 如果最大項不在對角線而在Aij和Aji
則其二次式
在Xi*Xj<0時 可能造成二次式為負...
感謝SIG大回答 我三畢竟是猜的
想順便請問
這一部分
最大項不在對角線而在Aij和Aji
則其二次式
在Xi*Xj<0時 可能造成二次式為負...
是課本哪一部份呢?
因為我只有看筆記 有些東西不是很熟
想要看看相關地方
課本我也沒翻到...
課本應該是沒有, 我是這樣證的:
令 e_k 為只有第 k 項為 1, 其他項為 0 的 vector
For every diagonal element d_k,
d_k = A_k,k = ((e_k)^T)A(e_k) > 0, for k=1,2,...,n
Let A_i,j = A_j,i = b be the largest entry, i≠j
=> b ≧ d_k, for all k
If b is not on the diagonal,
consider y=[b*(e_i) -b(e_j)]^T
=> (y^T)Ay
= (b^2)(d_i) - 2(b^3) + (b^2)(d_j)
= (b^2)(d_i - 2b + d_j) ≦ 0, -><-
那請問我上面這樣可以當成是舉反例
然後用~q->~p 故原題得証嗎 XD ?
剛剛想一下 要這樣証好像要證
fal all ~q->~p才得証的樣子...
若最大項不在對角項
而在Aij=Aji i!=j
則取vector X 除了 Xi 和 Xj不為0其餘為0
其中Xj=-1
Xi滿足
2AijXi>Aii(Xi)^2+Ajj
-> AiiXi^2 - 2AijXi + Ajj <0
-> (2Aij-((2Aij)^2-4AiiAjj)^(1/2))/2< Xi <(2Aij+((2Aij)^2-4AiiAjj)^(1/2))/2
其中因Aij>Aii 且 Aij>Ajj
所以(2Aij)^2-4AiiAjj>0
所以其範圍為實數解
此時 X^t A X 為其二次式<0
所以A非正定 #
這樣証可以嗎 ?
修改一下AiiXi^2 - 2AijXi + Ajj <0
X^t A X 為其二次式<0
都改成 <=0
仔細看完wynne大的証明了
簡單明確 感謝 !
感謝各位 !!!!
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