我看老師書上的定義
over C 時 quadratic form 是實係數的矩陣 必為 Hermitian 而 Hermitian就是正規矩陣
over C 時 的正定矩陣的 quadratic form必為實係數 所以為 Hermitian
所以over C 時的正定矩陣必為正規矩陣
over R 時 正定矩陣不一定要Symmetric(Hermitian)
所以只有Symmetric的正定矩陣是正規矩陣是嗎 ?(重點在於它Symmetric)
還是有什麼詳細一點的說法來判定正(半)定 和正規矩陣之間的關係呢 ?
(當然T*T=TT*是最基本的定義 請問有什麼適用在不為Hermitian的正定矩陣的判斷法嗎 ?)
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在非symmetric時, 只靠 (x^T)Ax>0 並不能保證 A 是normal, 但是一般可能都會說正定就是normal, 因為在佈於實數時, 通常是把symmetric的條件放在正定的定義裡面的, 也就是說我們只對symmetric的矩陣討論是否為正定
當佈於複數時, A 為 normal 另外還有個充要條件就是A可么正對角化
感謝回答喔
另外請問 考試如果問是非題
1.正定矩陣是對稱矩陣
2.正定矩陣必可正交或么正對角化
以上都可以答False嗎 ?
若是over C, A是正定則A一定是Hermitian但不一定是symmetric, 但因為正定一定是normal, 所以它一定可以么正對角化, 所以 2 是true
若是over R, 就像我先前說的因為symmetric的條件是有被加在正定的定義裡的(p8-52), 所以 1 顯然是true; 既然 1 是 true, 那麼它就一定可以正交對角化, 所以 2 也是true
所以討論這些問題的時候
over C 就當正定=Hermitian
over R 就當正定=Symmetric
這樣沒錯嗎 ?
不用考慮正定over R 時有非對稱的情形 @@ ?
我是一直很疑惑... 到底"考試的時候"能不能把正定直接當作Hermitian 和 Symmetric看待...
因為你上面寫了兩個等號, 所以我不知道你的最後一句話想表達的邏輯意義是哪一種, 我的意思是因為正定並不等價於Hermitian or symmetric, 所以那個等號不會成立; 正定和Hermitian本來就是不同的normal operator, 在over R時, 當我寫"正定一定是symmetric"那句話, 意思是指當你蒐集所有的symmetric矩陣時, 正定的矩陣一定包含在這個集合裡, 可是不是所有的symmetric矩陣都是正定, 同理, "正定一定是Hermitian", 但是Hermitian不一定是正定
若你說"把正定直接當作Hermitian 和 Symmetric看待" 的意思和我上面那兩句話的邏輯意義是一樣的, 那就沒有問題, 確實會有這個性質, 在over C時老師上課有證過, 在over R時那是定義, 可是若你要在兩者之間加上等號, 就整個弄錯了; 我覺得你應該懂我的意思, 只是想提醒一下別誤用了等號來表達這件事情
感謝回答
等號修正成 ->(則) 才正確
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我想問蒐集所有的正定矩陣時 應該也會搜集到不為symmetric的情況吧
還是說不考慮這種情況 只考慮正定矩陣就是symmetric矩陣的情形呢
因為老師解題的時候 有說正定有的定義有包含symmetric 有的定義不用含symmetric性質 所以一直很疑惑到底要不要考慮非symmetric的情況
直接一點的問
是不是如果題目是問正定矩陣
就把正定矩陣的定義當成是用
over C ->Hermitian
over R ->Symmetric
來定義為前提就好了
不用考慮over R 時 可能非Symmetric @@
我前面應該也回答得很直接了, 在實數時一般對正定的定義就已經帶有symmetric了, 書上是這樣定義的 (p8-52 定義8-13), wiki也是這樣定的, 所以一定是symmetric, 如果你還是很擔心那考試時就加註說明, 若不能加註就還是以這個定義為主
感謝你耐心的回答 ^^
因為我一直不是很肯定
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