Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
在實數時, <Ax,x> = (x^T)Ax = <x,(A^T)x>, 但我不知道你要怎麼用這個來證明那個命題, 要不要說說看你的想法呢?
|Ax|^2 = |x|^2→< Ax,Ax > = < x,x>→<(A^T)Ax,x> = < x,x>→<( (A^T)A - I)x,x> = 0→(A^T)A - I = O→(A^T)A = I→A:orthogonal就跟保長度證unitary一樣，改成實數時這樣可行嗎?如果可行，我覺得這比代公式容易記也容易證~
<((A^T)A-I)x,x>=0 => (A^T)A-I=O 這邊會過不去, 在複數時過的去是因為當 x^T((A^T)A-I)x = (x^T)Ox 可保證 (A^T)A-I = 0, 但在實數時我們不能用到這個 Lemma, 也就是你筆記中記在複空間的證明上面的那個Lemma, 這和Lemma下面的那個Note是同一個觀念
我還以為是< M,x > = 0對所有x作內積都=0，所以前者等於0原來是Lemma8-1 < T(v),v > = 0 → T(v) = O
另外請問一下，我在另外一份考卷有寫到一題，它題目敘述有給:1.T(0)=02.|T(x)-T(y)| = |x-y|上述這兩個前提，在題目沒給的情況下，是對的嗎~?也就是1.2在這題證明中恆成立嗎?因為解答用上面兩個性質去證明，答案變得超簡單，所以我在想一般是否可以直接用不好意思，問題有點多
若 T 為 linear transformation, 則 1 顯然成立, 至於 2, 假設它成立, 令 z=x-y, |z| = |T(x)-T(y)| = |T(x-y)| = |T(z)|, 所以他imply的其實是 T 保長度, 因為我們知道不是所有的T都保長度, 所以這不會恆成立
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在實數時, <Ax,x> = (x^T)Ax = <x,(A^T)x>, 但我不知道你要怎麼用這個來證明那個命題, 要不要說說看你的想法呢?
|Ax|^2 = |x|^2
→< Ax,Ax > = < x,x>
→<(A^T)Ax,x> = < x,x>
→<( (A^T)A - I)x,x> = 0
→(A^T)A - I = O
→(A^T)A = I
→A:orthogonal
就跟保長度證unitary一樣，改成實數時
這樣可行嗎?
如果可行，我覺得這比代公式容易記也容易證~
<((A^T)A-I)x,x>=0 => (A^T)A-I=O 這邊會過不去, 在複數時過的去是因為當 x^T((A^T)A-I)x = (x^T)Ox 可保證 (A^T)A-I = 0, 但在實數時我們不能用到這個 Lemma, 也就是你筆記中記在複空間的證明上面的那個Lemma, 這和Lemma下面的那個Note是同一個觀念
我還以為是< M,x > = 0
對所有x作內積都=0，所以前者等於0
原來是Lemma8-1
< T(v),v > = 0 → T(v) = O
另外請問一下，
我在另外一份考卷有寫到一題，
它題目敘述有給:
1.T(0)=0
2.|T(x)-T(y)| = |x-y|
上述這兩個前提，在題目沒給的情況下，是對的嗎~?
也就是1.2在這題證明中恆成立嗎?
因為解答用上面兩個性質去證明，
答案變得超簡單，
所以我在想一般是否可以直接用
不好意思，問題有點多
若 T 為 linear transformation, 則 1 顯然成立, 至於 2, 假設它成立, 令 z=x-y, |z| = |T(x)-T(y)| = |T(x-y)| = |T(z)|, 所以他imply的其實是 T 保長度, 因為我們知道不是所有的T都保長度, 所以這不會恆成立
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