老師上課有談到一題
EX A^2 = A 證明A 可對角化
有兩小題
(a)題是用minimal polynomial 證所有組合皆不超過1次方 所以T可對角化
(b)小題是利用minimal polynomial 續算出所有的A
ma(x)=x => 0=ma(A)=A
本來覺得OK 但事後來又想到
ma 其實只是Pa(特徵多項式)的一小部分 萬一Pa=x(x-λ1)(x-λ2) 才是他原本的特徵根
根據Caley Hamilton定理
那不就變成了 特徵多項式 A(A-λ1)(A-λ2)=0
這樣求得的A 不就有一大堆可能嗎?
還是說根據minimal polynomial的話 (x-λ1)(x-λ2)這兩項式不會出現的(因為最少會出現一次)
可是如果是這樣
我又會想到
他另外一個解
ma(x)=x(x-1)
特徵根可能為 pa(x)=x^s * (x-1)^t s,t為任一數
這樣似乎A的解又會變一大堆可能了
這邊搞不太清楚 麻煩指點迷津
3 則留言:
如果 A 具eigenvalue λ, 則 (x-λ)|m(x), 所以假設 m(x)=[(x-λ1)^d1]...[(x-λn)^dn], d1,...,dn > 0, 那麼 A 的 eigenvalue 一定就是 λ1,...,λn, 2; 當中可能會有重複, 但不會再有其他的可能; 譬如 m(x)=x(x-1) => A 具 eigenvalue 0,1 (可能會有不只一個0和1)
恩 感謝助教的回答
上面那個意思我懂
不過我主要是搞不懂
"為何沒用Pa來考慮"
依據定理
Pa(x)=[(x-λ1)^d1]...[(x-λn)^dn]
Pa(A)=[(A-λ1)^d1]...[(A-λn)^dn]=0
萬一不同 豈不代表有不同的解
A(A-I)=0 A^2=A
A^2(A-I)^2=0 A^3-3A^2+A=0
應該是不一樣的東西才對
我是想說為什麼沒有考慮用Pa(x)來看呢?而是只考慮ma ?
用Pa看是哪裡不適合呢?
應該是說minimal polynomial在某些時候可以比特徵多項式透漏更多的資訊, 譬如這題就像你說的, 這個時候如果討論特徵多項式, 因為它的可能性太多了, 所以也歸納不出甚麼結論; 然而 m(x) 相對之下已經限制了它的form, 限制多, 可能性就會變少, 這樣的話條件就比較強, 那就越方便我們討論 A 的情形
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