(2)96交大
L: ax+by=0 a^2+b^2
T:reflection of R^2 about L
求T之standard matrix 及N(T),R(T)
在N(T)={0}這部分 是運用H=I-2u(u^T) 性質裡面的H^-1=H^T=H 這邊嗎?
因為 H 的inverse為H 必存在 加上方陣所以可逆 ker(T)=0
不過接下來他的R(T)
他只寫R(T)=R^2 這樣OK嗎? 考試時可以不用做多項式的計算囉?
(96)交大
x,y : n*1 (y^T)x≠0 A=I+x(y^T) 求det(A)及λ(A)
一開始藉由經過計算後 我們發現1+y^Tx 屬於λ(A)
不過接下來計算的部分是
令y=span{y } => dim(y 垂直 )= n-1
想問一下怎麼知道是n-1的阿
有時麼原因保證1+y^Tx 他的eigenvector只有一個呢?
看這類似題目 好像另一個的igenvalue剛好都占n-1個
不太清楚原因
(4)
在做SVD時 我們求V^H部分
都會用ker((A^T)A-λI) 來求右邊部分
可以直接用R(A^T) N(A)來求嗎?
感覺這樣好像比較快耶 @@
以上這些 麻煩指點了
3 則留言:
1. H 矩陣有很多性質都可以說明 H 可逆, 若用幾何的想法來看也很直覺, 因為一定只有 0 向量在反射以後會是 0 向量, 所以 ker(T)=0; 既然 nullity(T)=0, 那麼 dim(R(T))=2, R(T)就是R^2, 這樣簡單說明一下就可以了
2. 如果 W 是 V 的子空間(dim(V)=n), 則per(W)這個子空間的dimension就會是n-dim(W), 所以per(span{y})一定是一個n-1維的子空間; 這裡我們在先確定有 1+(y^T)x 這個 eigenvalue 以後, 可知 dim(V(1+(y^T)x)) >= 1, 再之後又確定了 A 會有n-1個eigenvalue 1(因為dim(per(span{y}))=n-1 => dim(Ker(A-I))=n-1), 所以可知相對於 1+(y^T)x 的eigenspace維度就只有1
3. V 的行向量一定是 (A^H)A 的 eigenvectors, 既然都要把singular values找出來, 那麼把(A^H)A的eigenvectors找出來我想應該還是最直接的方法
謝謝助教的回答
不過關於(2)我還有一些疑問
所以是因為我們知道
A 會有n-1個eigenvalue 1
所以才確保dim(V(1+(y^T)x)) = 1
而eigenvalue 1有n-1個的原因是
dim(per(span{y}))=n-1 => dim(Ker(A-I))=n-1)
感覺這條件事是"令"去湊的
就是我們製造符合題目的條件
Y是一維向量(這邊不是題目給的條件)
而與y垂直 剛好可以生成n-1個eigenvalue為1的向量
覺得不是很直觀orz
雖然我知道y是一維啦
可是題目沒有特別提醒 好像也不會知道的條件
嚴謹來說不是 y 是一維, 是 span{y} 是一維, 而我們從 per(span{y}) 一定可以取到 n-1 個線性獨立的向量 v_1,...,v_n-1, 又因為 Av_1=v_1, ..., Av_(n-1) = v_(n-1), 所以這 n-1 個線性獨立的向量都會屬於 ker(A-I), 則 dim(ker(A-I))=n-1; 我也覺得這樣解的確是有點小技巧在, 不過我自己的經驗是當看到矩陣裡面含有向量相乘的東西時, 把它多乘上一個向量時常都會有意想不到的效果
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