老師在上面寫了
正定=> Hermitian => normal
中間那兩步不知道是怎麼推的
正定我只想到
不知道為何出現 A^H=A A^H A =A A^H
(2)T:v->v normal
正T-αI是normal 每一個α∈F
(T-αI)* (T-αI)=(T-αI) (T-αI)*
中間有一段(我不會打α bar 抱歉QAQ)
是把*合併進去裡面 然後再左右交換
是利用 A^ H A = A A^H
的性質嗎?
如果是這樣 為什麼不乾脆省略掉算了?
因為直接把T-αI 視為A 意思好像一樣
不太了解為什麼要寫那一行
(3)可以說normal具有 A=A^H 以及 A^H A = A A^H 的性質嗎?
(4)A屬於複數 A^H = A <=> X^H A X 屬於實數 每個一個X屬於複數n*1
老師證明是這樣寫
X^H A X 屬於實數 每個一個X屬於複數n*1
<=> (X^H A X)^H = X^H A X 每一個X
<=> X^H A^H X = X^H A X 每一個X
<=> A^H = A
就證明這兩件事等價了 感覺是很順
可是不知道X^H AX 屬於實數的用途
感覺好像沒有用到??(雖然說是用H去證)
懇請解答了
7 則留言:
(1) A:positive definite => A: Hermitian 可以參考問題(4)的回答; 至於 A: Hermitian => A:normal 證明就是 (A^H)A = AA = A(A^H)
(2) 如果你直接把 T-αI 視為 A, 這樣證會因為用到了你還沒證出的事實而產生問題, 然而譬如說像 T*(T-αI)=(T-αI)T* 用的才是題目給的已知 T 為 normal 的性質, 因為把它拆開來看就是 T*(T-αI) = T*T-αT* = TT*-αT* = (T-αI)T*, 所以 (T*-bar(α)I)(T-αI)=(T-αI)(T*-bar(α)I)是一樣的道理; 如果你覺得不是很好看就把它拆開來, 再用normal的性質證也沒關係 (不是很確定你說的是哪個式子, 希望這樣有回答到你的問題)
(3) normal的定義只有(A^H)A=A(A^H), 他並不保證為Hermitian, 反例可取
[ 0 -1]
[ 1 0], 這個矩陣是normal但不是Hermitian
(4) 這可以用來推出在你的筆記中, 記在這個定理下方的一個Note, 就是 A: 正定 => A: Hermitian (因為 (x^H)Ax>0 => (x^H)Ax∈R)
恩 感謝助教
看了這個才想到
在A是hermitian時
一開使證明了 eigenvlaue屬於R
其實也就說了(X^H)AX是屬於R的
怪不得那邊證明一行就代過去了orz
關於4的證明阿
我會想到用A^H = A
然後證明 X^H(AX) 屬於實數
X^H(AX)=(X^H)(A^H)X
<=>λ||X^2|| = (barλ) ||X^2||
因為 ||X^2|| 屬於R
又加上λ也 屬於R
所以X^H(AX)屬於實數 這樣OK嗎?
原本證明我會覺得怪怪的是因為
好像不用屬於實數也可以做H阿
有沒有屬於實數好像沒差??
覺得這條件好像沒用到
(2)部分沒有錯
就是我想問的部分 助教真厲害XD
下次我會敘述詳細點
前面舉例我懂了
(T*-bar(α)I)(T-αI)
=(T-αI)(T*-bar(α)I)
但這一段我就卡住了
一開始我一為這段是用
A=T-αI
(A^H)A=A(A^H)
這樣看來好像不是這樣orz
是有省略步驟嗎?
如果展開在化回去我是沒問題啦
只是不知道這段本意
怕誤會他意思
1. 如果所有的 x 都是 eigenvectors 那樣證就沒問題, 但事實上不是這樣子的
2. (T*-bar(α)I)(T-αI)=(T-αI)(T*-bar(α)I) 和前面那個概念完全一樣, 我只是多舉了個例子而已, 這邊除了左邊會乘出 T*T 和右邊會乘出 TT*, 其他的東西都只是單一個矩陣的多項式而已, 就把它當作是省略拆開的過程吧
恩 多謝助教
經助教提醒才發現
原來才發現
原來是要x是eigenvector才行orz
這樣還是要記
x^H(AX)屬於R <=> A^H=A囉?
不過我一直對直接取H
就順利証出來感到有些詭異
因為屬於R的性質就是我們想證的
可是好像都沒用到的感覺
ie 假設屬於C 不是也是可以取H嗎?
喔好像知道你這邊為什麼卡住了, 可不可以取 H 其實不是重點; 若想證明一個數 y 為實數, 通常我們用的方法就是證明 y 的共軛複數就是 y 自己, (因為虛部為零, i.e., y^H=y), 反過來也是一樣的, 這就是為什麼我們得利用(X^H)AX為實數這個已知條件, 才能保證((X^H)AX)^H = (X^H)AX 這個等式才會成立
謝謝助教
居然忘了這最基本的性質orz
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