本題57題題目 矩陣A長相
............｜ 3 0 1 ｜
A=1/2 ｜ 0 4 0 ｜
.............｜ 1 0 3 ｜
欲找B使B^2=A，所以要先找特徵多項式。
我的疑問是A的特徵多項式，用3種方法找答案都不同>< 請指正：
法一. 純量1/2 進入矩陣裡面，所以
........｜3 0 1 ｜
A= ｜0 2 0 ｜
........｜ 1 0 3｜ 則得到A的特徵多項式為：det(A-xI)=(x-2)^2 (x-4) 得特徵根為：2,2,4
法二. 在整個A外面取det, 所以 det(A-xI)
.................｜ [ (3-x) 0 1 ] ｜
=det (1/2) ｜ [ 0 (4-x) 0 ] ｜
................｜ [ 1 0 (3-x) ] ｜
然後因為1/2從det出來要變成（1/2）^3， 所以 =1/8 (x-2) (x-4)^2 =0 得特徵根為：2,4,4
法三.解答說A的特徵根為1,2,2
因為解答沒運算過程 我自己用法一法二兩種方法答案還不同..><..
所以請問
1.法一.法二是錯在哪裡呢？整個觀念看似正確ㄋㄟ....
2.正確算法過程？
感謝....
2 則留言:
(1) 純量乘進矩陣裡, 是對矩陣中的每一項都要有作用, 而不是只針對某一個row
(2) 若 0 = det(cA-xI) = det(c(A-(x/c)I)), c!=0 => det(A-(x/c)I)=0, 所以你對 A 解出來的eigenvalue要再乘以c倍才會是你想求的 cA 的 eigenvalue; 在此例中, 2,4,4 各乘以 1/2 就會得到 1,2,2 (其實就是eigenvalue的表現定理, i.e., f(λ)會是f(A)的eigenvalue)
您說的沒錯：純量乘進矩陣裡, 是對矩陣中的每一項都要有作用, 是在取了det之後才是對某一 row 或某一 column ，您說的很清楚，我想我現在會了^^"
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