此題欲證
若 S1、S2包含於 V ，
S1 包含於 S2 => span(S1) 包含於 span(S2)
我想問一下證明過程中 的第二行
兩個 "存在" 可否改成 for all? (即 若有冗員，線性組合係數取0)
另外
v1..vk 屬於 S1
但這 v1..vk 個向量怎麼能確定 能線性組合成 span(S2) 中的向量??
S1 比較小啊...奇怪..???..
謝謝大家答覆!!
Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
3 則留言:
1. 係數若用for all會有問題, 因為如果把存在都改成for all, 那意思會變成是v可以是v1,...,vk的任意線性組合
2. 假設v可以寫成v1,...,vk∈S1的線性組合, 因為S1⊆S2, 所以v1,...,vk既然屬於S1就一定屬於S2, 那麼根據spanning set的定義, 只要是S2裡的向量可產生出來的線性組合都一定會屬於span(S2), 所以v可以寫成v1,...,vk的線性組合就已意謂著v屬於span(S2)
2.
主要是卡在，當我們知道 v1..vk 屬於S2
的時候，因為S1包含於S2 所以S2還可能存在有其他向量，如 vk+1...vn
那在生成 span(v2) 中的任一向量時，
為什麼不會用到 vk+1...vn 的向量來線性組合成??
用 v1..vk 就夠了嗎??
span(S2)比較大呢
不好意思我還是卡在這邊不太懂
苦惱阿~~
謝謝答覆!!!
v1,...,vk不用生成所有span(S2)中的向量, 因為我們要證的是span(S1)⊆span(S2), 所以只要確保for all v∈span(S1)都屬於span(S2)就ok了, 在span(S2)裡其他不屬於span(S1)的向量會被誰生成並不重要; 現在因為我們的已知是可以把v∈span(S1)寫成v1,...,vk的LC, 就表示必定至少存在著這一組特定的LC, 而它只需要同時屬於span(S1)和span(S2)的v1,...,vk來生成, 這樣就夠了
希望這樣有回答到你的問題, 還有不解的地方再請你說明囉, 因為我覺得我好像還是沒有很清楚你卡在哪兒
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