[離散] p.2-103
範例4:
Show that the set of rational numbers between 0 and 1 is countable
不知是否可以用以下證法
令X = { p/q| p, q 屬於 N, p > q }
則X~ { ( p , q) | p, q 屬於 N } ~ N*N ~ N
所以X為可數集。
範例五
If A is any set, prove that |A| < |P(A)|
我看不太懂他下面的證明
為何可以先假設b屬於g(b)
然後根據定義矛盾
然後又假設b不屬於g(b)
然後又根據定義矛盾
不太懂其意思
[線代] p.4-45
例27
Given a linear operator L(p(x)) = p(1)p’(x) + p(1)
(b) Use the matrix representation in (a) to find the coordinate of L(x2+2x+2) with the respect to the ordered basis r = {1, 1+2x}
如果不採用(a)之轉換矩陣計算
為何算出來的答案不太一樣
(如下)
L(x2+2x+2) = 10x + 15 = __10__ *(1) + __5__*(1+2x)
得 L(x2+2x+2) 在r上的座標為 [10, 5]
1 則留言:
1. 如果有找到證明 X~{(p,q)| p,q∈N }的bijective function就沒有問題, 而直覺上比較簡單的想法就像書上一樣, 只要證到 |X|≦|NxN|=|N| 即可說明 X 為 countable
2. 這證明的想法跟用對角線證法說明 (0,1) 為不可數時的概念有點類似, 我想它的關鍵在於 B 這個集合的定義, 會使得它必屬於P(A), 但卻又無法找到一個 b∈A 使得g(b)=B, 也就是說, B 並沒有被對到, 但這矛盾了 g 為 onto
舉一個有限集的例子也許會更容易想(雖然有限集顯然沒有onto函數): A={0,1}, P(A)={{}, {0}, {1}, {0,1}}, 假設定義 f:A→P(A) 為 f(0)={1}, f(1)={0,1}, 則 B={0} 因為 0∉{1}, 此時就會發現必定不存在 x∈A 使得 f(x)={0}, 所以 f 不為 onto
3. 這題題目出錯了, 因為它定義的 L 其實不為 linear, 以p(x)=x為例, L(x)=1+1=2, L(-x)=0, 但 L(-x) = 0 != -2 = -L(x)
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