根據書上的定義
S的正交補空間 = {v屬於V | < v, s > =0 ,for all s 屬於S}
(線性代數下 P.7-92)
然後 根據 線性代數下 P.7-95 定理 7-23
V = W + ( W 的正交補空間 ) ( + : direct sum )
問題如下
Q= [ q1 q2 q3 ] = [1 1 1]
[1 1 -1]
[1 -1 1]
[1 -1 -1]
S12= span (q1,q2)
S23= span (q2,q3)
Que:
The span(q1) is an orthogonal complement os the subspacs S23
True or False ?
根據定義 7-10 應該是對的
但是
span(q1) 無法與 S23 生成 R^4
與定理7-23 矛盾
請問觀念錯在哪裡?
謝謝
3 則留言:
根據書上的定義...
S的正交補空間之描述{v∈V | .....}
這個v∈V其實是要∀v的
所以說span(q1)並不是s23的orthogonal complement，而應只是s23的orthogonal complement的一個subspace而已
Yes講得很好, 我再補充一下好了, 根本的問題在於對集合的理解, S'是收集跟所有S的向量都垂直的向量, q1是有與S的所有向量垂直, 但除了q1以外, 還有其他向量也會與所有S的向量垂直, 因此不能說S'=span(q1),例如S = span{(1, 0, 0)}
q1 = (0, 1, 0) in S'
但不能說S' = span(q1), 事實上,
S' = span{(0, 1, 0), (0, 0, 1)}
謝謝回應
了解了
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