這次考了一題求eigenvalue的題目
矩陣如下:
4 1 0 0 1
1 4 1 0 0
0 1 4 1 0
0 0 1 4 1
1 0 0 1 4
我只有想到6是其中一個eigenvalue
因為每一列的和都是6
所以如果乘上
[1 1 1 1 1]^t
會變成[6 6 6 6 6]^t
但是其他的就不太清楚應該怎麼找
想請問老師這應該怎麼解較適當
謝謝
Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
1 則留言:
剛做了一下, 直接作應該OK, det(A - xI)中將1, 2, 3, 4列加到最後一列, 再將2, 3, 4, 5行減掉第1行, 之後對第五列展開得到一個因子(6 - x), 之後的矩陣為
(x-3) (x-4) (x-4) (x-3)
(3-x) ( 0 ) (-1 ) ( -1)
(1 ) (4-x) ( 1 ) ( 0)
(0 ) ( 1 ) (4-x) ( 1)
將第四列乘(3-x)倍加到第1列, 第四列加到第2列得矩陣
(x-3) ( -1) (x^2-6x+8) ( 0)
(3-x) ( 1 ) (3-x) ( 0)
( 1 ) (4-x) ( 1 ) ( 0)
( 0 ) ( 1 ) (4-x) ( 1)
對第4行展開, 1倍乘下列矩陣的行列式
(x-3) ( -1) (x^2-6x+8)
(3-x) ( 1 ) (3-x)
( 1 ) (4-x) ( 1 )
再來就簡單了, 第3行減第1行, 再對第3行展開剩下2*2矩陣, 直接展開後得到最後的值為
(6-x)(x^2 - 7x + 11)^2
接著求它的根即可
這題還好, 因為1很多, 處理起來算OK
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