Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
我剛剛看一下我的書，它好像是對到(a1+a2,a2+a3,『a3+a1』,a1+a2+a3)從R3對到R4。當然不同構。
(a1+a2,a2+a3,『a3+a1』,a1+a2+a3)這個對應域只是R^4的子空間，dim=3,同維因此同構，你的說法如何解釋？
不好意思，我可能解釋的太不明確了。不過這位同學好像對於同構的概念不是很清楚。我就字面上、幾何意義上、定義上，三個層面來解釋何謂同構。1.字面上:同構，完整來說是2個空間同樣構造(看原文的線代比較好了解這句話)。所以R3跟R4很明顯就不同構造所以當然不同構。
2.幾何意義上:在抽象空間上面，我們很難像R^n空間那樣那麼容易看出2個空間是否構造相同，一般來說是看不出來。所以我們在2個空間中試著去建造一座橋連接2個空間，也就是同構函數。建的出來就是2空間同構，反之就是不同構。因此我們在看題目時，有沒有同構時是看定義域跟對應域2個空間，並不會看到子空間去。
3.定義上:如2說的，要辨别兩空間是否同構就是建造一座橋。而這座橋是這樣的。如果兩空間中存在著一個線性、1對1、ONTO的函數，則我們就可稱兩空間同構。而且這個函數，我們叫它同構函數。所以，題目上那個T沒有ONTO，因此不能作為R3跟R4的橋。也就不是同構函數。
各位, 我手上沒有書, 但以我的猜測, "好奇想問"是指: 這個 linear operator T 的 domain 和 range, 因為他提到 R^4 的子空間, 而"獅子吼"指的是 T: R^3→R^4, 顯然 R^3 與 R^4 不同構.原題應該有給 V 和W 及 T:V→W, 比對一下 W 是哪一個, 就知道是不是同構.
補充一下，就如啊凱所言，同構在呼的是兩空間是否同構，所以題目上一定會給所以比較的兩個空間。而此題給的是，T:R3->R4，是不同構的。
原來如此，對應域是W在T：V→W，我之前把他後面的defined by當成是定義"值域T(a1,a2,a3)與對應域的關係"，所以把對應域想成是在R^4裡要滿足(a1+a2,a2+a3,『a3+a1』,a1+a2+a3)的空間
一個linear transformation要同構需要one-to-one以外, 還需要onto, 就好像T : R^2 -> R^3, T(x, y) = (x, y, 0)這個函數並非同構函數, 不過如果你把右邊縮小到R(T), 也就是取T : R^2 -> R(T), 那就只要檢查one-to-one即可, 我想你的想法應該是這樣, 不過題目應該還是T : R^3 -> R^4, 不是同構函數
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我剛剛看一下我的書，它好像是對到(a1+a2,a2+a3,『a3+a1』,a1+a2+a3)從R3對到R4。當然不同構。
(a1+a2,a2+a3,『a3+a1』,a1+a2+a3)這個對應域只是R^4的子空間，dim=3,同維因此同構，你的說法如何解釋？
不好意思，我可能解釋的太不明確了。不過這位同學好像對於同構的概念不是很清楚。我就字面上、幾何意義上、定義上，三個層面來解釋何謂同構。
1.字面上:
同構，完整來說是2個空間同樣構造(看原文的線代比較好了解這句話)。所以R3跟R4很明顯就不同構造所以當然不同構。
2.幾何意義上:
在抽象空間上面，我們很難像R^n空間那樣那麼容易看出2個空間是否構造相同，一般來說是看不出來。所以我們在2個空間中試著去建造一座橋連接2個空間，也就是同構函數。建的出來就是2空間同構，反之就是不同構。因此我們在看題目時，有沒有同構時是看定義域跟對應域2個空間，並不會看到子空間去。
3.定義上:
如2說的，要辨别兩空間是否同構就是建造一座橋。而這座橋是這樣的。
如果兩空間中存在著一個線性、1對1、ONTO的函數，則我們就可稱兩空間同構。而且這個函數，我們叫它同構函數。
所以，題目上那個T沒有ONTO，因此不能作為R3跟R4的橋。也就不是同構函數。
各位, 我手上沒有書, 但以我的猜測, "好奇想問"是指: 這個 linear operator T 的 domain 和 range, 因為他提到 R^4 的子空間, 而"獅子吼"指的是 T: R^3→R^4, 顯然 R^3 與 R^4 不同構.
原題應該有給 V 和W 及 T:V→W, 比對一下 W 是哪一個, 就知道是不是同構.
補充一下，就如啊凱所言，
同構在呼的是兩空間是否同構，所以題目上一定會給所以比較的兩個空間。
而此題給的是，T:R3->R4，是不同構的。
原來如此，對應域是W在T：V→W，我之前把他後面的defined by當成是定義"值域T(a1,a2,a3)與對應域的關係"，所以把對應域想成是在R^4裡要滿足(a1+a2,a2+a3,『a3+a1』,a1+a2+a3)的空間
一個linear transformation要同構需要one-to-one以外, 還需要onto, 就好像
T : R^2 -> R^3, T(x, y) = (x, y, 0)
這個函數並非同構函數, 不過如果你把右邊縮小到R(T), 也就是取T : R^2 -> R(T), 那就只要檢查one-to-one即可, 我想你的想法應該是這樣, 不過題目應該還是T : R^3
-> R^4, 不是同構函數
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