Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
2008-05-27
老師有問題...觀念
若一個矩陣為orthogonal...只是保證他的實eigenvalue=1 或-1 不代表所有的特徵直是實數?.... 所以是不是說一個orthogonal的矩陣要可以正交對角化...要滿足特徵多項式split over R 或是說要orthogonal and self-adjoint 才可正交對角化 ...且unitary就可保證可以正交對角化..
2 則留言:
提到orthogonal matrix時, 討論的數全部是佈於實數, 也因此當|λ|^2=1時可直接說λ=1 or -1, 但其實符合(A^T)A=I的A, 若只在實數討論時因為不一定可split, 就有可能找不到eigenvalue
unitary一定可么正對角化, 卻不見得能做正交對角化, 問題還是在於討論正交對角化時, λ要是實數, 所以如果要做正交對角化, 就一定要找symmetric matrices, 大致上是因為 A:symmetric => λ∈R
wynne講得很好, 我們最常找的例子就是旋轉矩陣, 它是orthogonal matrix, 但eigenvalue可能都是複數, 如果只想找實eigenvalue, 那就只能找到1, -1
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