show that each homomorphism from a field to a ringis either 1 - 1 or maps everything onto 0'
sol:
令 f: F-->R 環同態 (F is field ..R is ring)
suppose that f is not 1-1 and im(f)不等於{0'}
=>存在一x屬於F-{0},存在一y 屬於F-ker(f) 使得f(x)=0' 且f(y)=a ,a不為0'
=>a=f(y)=f(y*1)=f(y*(x^-1)*x)=f(y)*f(x^-1)*f(x)=0' 矛盾
故 f:1-1 or IM(f)={0'}
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若ker(f) = {0}:
∀ a,b in R, if f(a)=f(b)
=> f(a)-f(b) = 0' => f(a-b) = 0'
=> a-b = 0 => a=b => f:1-1
否則, ∃a≠0 使得 f(a) = 0'
=> f(a(a^-1)) = f(a)f(a^-1) = 0'
=> f(1) = 0', 其中1為F之unity
=> ∀b in F, f(b) = f(b．1) = f(b)f(1)
= f(b)0' = 0' (i.e. f maps everything onto 0')
第二行改成: ∀ a,b in "F", if f(a)=f(b)
我覺得大大你寫的有錯ㄟ....
ker(f) = {0}保證1-1..這是一個定理..但是已知條件沒有這個..也就是說..ker(f)我們不知是否等於{0}(也就是說他沒有onto到 0'的時候你要証他ker(f) = {0} )......再來否則的那個地方不就跟我上面的類似.僅差在正推與反推.我又想到一個方法..因為F唯一體，所以F中之idel只有{0}或是F自己(僅需証1屬於F即可)，又由於ker(f)為F中之idel，故我們將有ker(f)={0} or
ker(f)=F ..當ker(f)={0}保證1-1..
當ker(f)=F 則f(F)={0'}
已知沒有寫明, 所以我有分了兩個case來討論, case 1是"假設"ker(f)={0}, 如果這假設不成立, 那就一定符合case 2：ker(f)≠{0} (也就是我寫否則的地方), 而因為這兩個cases確實可包含所有f的可能, 這樣無論如何都兼顧到了, 也就沒有問題
另外, 題目如果寫"either...or..."的話, 最好是把兩個情況不能同時發生的特性證出來, 如果只證出了"or", 會不夠完整, 若是用否則來寫的話就可以有"不是1-1, 就是..."的效果
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