已知 V:有限維向量空間
W1, W2:V的子空間
要證 (a)W1=W2 <=> (W1的零化集)=(W2的零化集)
(b)(W1交集W2)的零化集 = (W1的零化集)+(W2的零化集)
想法
(a)的"=>" 和 (b)的 "右邊包含於左邊" 簡單的我已經OK了
可是困難的 不會...
(a)的"<="
我想利用已知 証明W1與W2互包傳統的方法 似乎有困難
而(b)的"左邊包含於右邊"
要怎麼拆成兩個函數相加 函數的定法也不容易想
總之... 投降了... 想請問怎麼著手比較好
謝謝
4 則留言:
你零化集的原文是什麼？ kernel?
零化集(annihilator), 就您的問題
(a) 可以利用矛盾證法
若W1 != W2
則存在v in V使得v in (W2 - W1)
接著參考書上定理4-41的證明
假設dim(W1) = k
取{v1, ..., vk}為W1的一組basis
擴增之後{v1, ..., vk, ..., vn}為V的一組basis且{f1, ..., fn}為dual basis
則W1^0 = span{fk+1, .., fn}
且W1 = {x | fi(x)= 0, for all i = k+1, ..., n}
因為k < n
取f = f_(k+1) in W1^0使得f(u) = 0 for all u in W1,
因為v not in W1, 所以f(v) != 0
因此f not in W2^0, 產生矛盾
感覺有點複雜, 希望你看得懂
其實零化集跟我們談內積的orthogonal complement差不多, 所以(b)可以想成書上7-108範例5
(b)你要先證明
(W1 + W2)^0 = W1^0 ㄇ W2^0
然後再證明這題的右邊包含於左邊
最後再證明二邊的dim一樣
dim(W1^0 + W2^0)
= dim(W1^0) + dim(W2^0) - dim(W1^0 ㄇ W2^0)
= [dim(V) - dim(W1)] + [dim(V) - dim(W2)] - dim((W1 + W2)^0)
= 2dim(V) - dim(W1) - dim(W2) - [dim(V) - dim(W1 + W2)]
= dim(V) + dim(W1 + W2) - dim(W1) - dim(W2)
= dim(V) - dim(W1 ㄇ W2)
= dim((W1 ㄇ W2)^0)
有! 我有看懂了!!!
呼! 好辛苦~
因為要用到一些不熟的對偶空間與零化集的定理
就很不容易下筆
後來(a)
我想造一個函數T:W1 -> (W1)^0
然後使他可以1-1且映成
但是在1-1時就遇到困難
一直行不通 失敗
而(b)
有人敎我
若f屬於(W1ㄇW2)^0
則令
g(x)=f(x) 若x不屬於W1
0 若x屬於W1
h(x)=0 若x不屬於W1
f(x) 若x屬於W1
這樣一來
g會屬於(W1)^0
h會屬於(W2)^0
最後再去檢驗 f=g+h
這個做法好像行得通
只是在於不容易定出來
假如能利用(W1 + W2)^0 = W1^0 ㄇ W2^0
和dim(V)=dim(W)+dim((W)^0)
這兩個定理 如同老師你的作法
就容易許多了
謝謝老師^^
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