3. 我不知道你為什麼寫 True. 就我所知 projection of x on R(A) 就只是 Proj_W(x), where W=R(A). 然而 Proj 存在唯一, 所以是 false.
4. F.
Consider A= 1 1 0 2
eig value=1,2
(1,0) and (1,1) 分別為 x and y 但並不垂直.
此題中 V(1) 是 x 軸 V(2) 是 {(x,y)|x=y}
@wynne
我猜你第2題是要用可共同對角化; 而第4題, 原本的定理是若 A 為 normal, 則相對於不同 eig value 的 eig vectors 正交, 因為 normal, A and A^* 有相同的 eig vectors, 這裡不管eig value 是不是實數都可以, 若 A 為實矩陣, 前提我猜應該要改為 symmtric.
5 則留言:
2. 應該是true, 因為A(A^2)=(A^2)A
(若AB=BA => A,B具有相同的eigenvectors)
4. 如果題目有給定eigenvalue是實數, 則為true
wynne 的答案不太對喔..
1. F. 維度定理
2. F.
Consider
0 1
0 0
3. 我不知道你為什麼寫 True. 就我所知 projection of x on R(A) 就只是 Proj_W(x), where W=R(A). 然而 Proj 存在唯一, 所以是 false.
4. F.
Consider A=
1 1
0 2
eig value=1,2
(1,0) and (1,1) 分別為 x and y 但並不垂直.
此題中
V(1) 是 x 軸
V(2) 是 {(x,y)|x=y}
@wynne
我猜你第2題是要用可共同對角化; 而第4題, 原本的定理是若 A 為 normal, 則相對於不同 eig value 的 eig vectors 正交, 因為 normal, A and A^* 有相同的 eig vectors, 這裡不管eig value 是不是實數都可以, 若 A 為實矩陣, 前提我猜應該要改為 symmtric.
第3題.我當初以為題目是在問説normal equation的x解，因為想說A不行獨立，所以才認為x有無限多解。 經你一說才發現題目應該是在問正投影向量。 謝謝。
To凱:
2. 的確, 當我遇到像第二題這樣的敘述語氣時, 我會不知道它究竟要問的是否為eigenvectors要"全部"一樣, 我會回答true是因為他們必定具有common eigenvectors
4. 凱你例子中的y好像不是題目所要求的A^T的eigenvectors, 若A完全不給條件時, eigenvalue若為實數, x與y會orthogonal, 這可以得證 (此題有出現在題庫班的某一題考古題, 只是那題是證明題, 當時老師是對eigenvalue做假設, 我記得我上課前自己在解時就因為在複數時無法得證卡超久...)
Yes, right. Got confused with transpose. The proof of #4 for real eig values is as follows:
Let (.,.) denote the inner prod. Suppose Ax=αx, A^T y=βy with α ≠β. We have
α(x,y)=(αx,y)=(Ax,y)=(x,A^T y)=(x,βy)=\bar{β}(x,y)
=> (α-β)(x,y)=0
Since α≠β, (x,y)=0.//
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