題目：證明{1, 根號2, 根號3, 根號6} 線性獨立 over Q
我的想法是
首先是先設有理數a,b, c,d為其係數 然後等於零
最後要證出這些有理數全為零
直接証 不好證 就用反證法
令其中有一不為零 然後慢慢兜 兜出矛盾
本來我以為很trivial
可是 卻兜不出來...
學校教授
是用到代數裡後面field的東西證明的
他先證明Q(根號2)和Q(根號三)這兩個Q的field extensions 不isomorphic over Q
然後再利用這觀念 慢慢推出矛盾
我想請教的是
那麼以大一線代的能力 可以證明嗎?
如何證之?
謝謝
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註明：
Q(根號2)
是指包含Q以及(根號2)最小的field
我的想法是, 若a*1+b*sqrt(2)+c*sqrt(3)=0
=> (a+sqrt(2)b)^2 = 3c^2
因為a,c要屬於Q => b=0 => a=sqrt(3)c,
若c為非零之有理數, 則a不為有理數
=> a=c=0 => {1,sqrt(2),sqrt(3)}: LI
再用同樣方法說明sqrt(6)與他們都線性獨立
謝謝...
現在我已知1 (根號2) (根號3) (根號6)
三三獨立了
可是
要怎麼推到這四個線性獨立
我還是不會...
已知{sqrt(2),sqrt(3),sqrt(6)}: 線性獨立
若a*1+b*sqrt(2)+c*sqrt(3)+d*sqrt(6)=0
=> -sqrt(2)b+sqrt(3)c+sqrt(6)d =-a
因為a要屬於Q => a=0
=> sqrt(2)b+sqrt(3)c+sqrt(6)d=0 => b=c=d=0
a*1+b*sqrt(2)+c*sqrt(3)+d*sqrt(6)=0......1
[a*1+b*sqrt(2)+c*sqrt(3)+d*sqrt(6)]^2=0.......2
兩式相減 答案應該會出來...當然用近世代數的方法我覺得比較有水準..
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