Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
要看你的已知條件去證明吧？像是：AB =/= BA (未必成立)反例:存在B為A的反矩陣，使得AB=I=BA。tr(AB) = tr(BA) (這是一定成立)det(AB) = det(BA) (這也未必成立)若A和B不為方陣則不成立。rank(AB) =/= rank(BA) (這也未必成立吧？)反例和上面AB =/= BA的一樣。我還淺淺的！不知道這樣講對不對。
rank(AB)≦min{rank(A),rank(B)}rank(AB)≦rank(A) AND rank(B)好像只能證明。det(AB)=0
此處rank(AB)不等於rank(BA), 代表不一定相等要否定rank(AB)等於rank(BA), 反例如下: A=[10] B=[01] [00] [00] => rank(AB)=1, rank(BA)=0
是阿,要說欲証不對就像wynne大一樣給個反例去否定它就好,不用用到rank(AB) <= rank(A) AND rank(B)等等等的這麼麻煩摟~~
若B可逆,rank(AB)=rank(A)=rank(BA),其中A,B : nxn所以把條件放寬的話,上述就不會成立囉.--有錯幫糾正
推wynne & colkyo說的
我把一些命題的講法跟大家說一下, 有些人可能對邏輯的敘述還不是很清楚1. 若說rank(AB) = rank(BA)-> 這樣的命題是錯的, 因為我們可以找到A, B使得rank(AB) != rank(BA)2. 若說rank(AB) != rank(BA)-> 這樣的命題也是錯的, 因為我們可以找到A, B使得rank(AB) = rank(BA)3. 一般口語上我們會說, In general rank(AB) != rank(BA)-> 口語上的講法, 這樣就是對的4. 這種語氣上的敘述近幾年都可以在 考題中看到, 如台大資工
那這麼說.只能舉反例囉?如果 題目 硬是要我們證明怎麼辦?舉反例會對嗎?
從某個角度來看, 找到反例就是證明例如: 有一個命題為"班上所有人都是男生", 今天你要證明這個命題是錯的,是不是找到一個人不是男生, 就得證了呢?
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要看你的已知條件去證明吧？
像是：
AB =/= BA (未必成立)
反例:存在B為A的反矩陣，使得AB=I=BA。
tr(AB) = tr(BA) (這是一定成立)
det(AB) = det(BA) (這也未必成立)
若A和B不為方陣則不成立。
rank(AB) =/= rank(BA) (這也未必成立吧？)
反例和上面AB =/= BA的一樣。
我還淺淺的！不知道這樣講對不對。
rank(AB)≦min{rank(A),rank(B)}
rank(AB)≦rank(A) AND rank(B)好像只能證明。
det(AB)=0
此處rank(AB)不等於rank(BA), 代表不一定相等
要否定rank(AB)等於rank(BA), 反例如下:
A=[10] B=[01]
[00] [00] => rank(AB)=1, rank(BA)=0
是阿,要說欲証不對就像wynne大一樣給個反例去否定它就好,不用用到
rank(AB) <= rank(A) AND rank(B)
等等等的這麼麻煩摟~~
若B可逆,rank(AB)=rank(A)=rank(BA),
其中A,B : nxn
所以把條件放寬的話,上述就不會成立囉.
--
有錯幫糾正
推wynne & colkyo說的
我把一些命題的講法跟大家說一下, 有些人
可能對邏輯的敘述還不是很清楚
1. 若說rank(AB) = rank(BA)
-> 這樣的命題是錯的, 因為我們可以找到
A, B使得rank(AB) != rank(BA)
2. 若說rank(AB) != rank(BA)
-> 這樣的命題也是錯的, 因為我們可以找到
A, B使得rank(AB) = rank(BA)
3. 一般口語上我們會說, In general
rank(AB) != rank(BA)
-> 口語上的講法, 這樣就是對的
4. 這種語氣上的敘述近幾年都可以在
考題中看到, 如台大資工
那這麼說.只能舉反例囉?
如果 題目 硬是要我們證明怎麼辦?
舉反例會對嗎?
從某個角度來看, 找到反例就是證明
例如: 有一個命題為"班上所有人都是
男生", 今天你要證明這個命題是錯的,
是不是找到一個人不是男生, 就得證了
呢?
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