題目如下
Let G be a semigroup, for all a, b 屬於 G, ax=b and ya=b always have a common solution in G, prove G is a group
我的問題是
- common solution 代表?
- 解答中求出來的單位元素 代入題目 ax=b and ya=b 會變成 ae=b and ea=b 但一單位原宿性質來看不是應該為 ae=a and ea=a嗎?
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Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
5 則留言:
我覺得common solution你可以想做是G"存在"兩個元素x,y使得"所有"的a,b屬於G,ax=b,ya=b
第二個問題，我想您誤會了題目的意思
題目沒定義它的operation，所以不會知道ae是等於b或ea是等於b
我猜您應該是卡在"存在"兩個元素x,y
既然不是for all，那麼ae和ea未必非等於b不可
只要另外在G中找x和y，讓ax=b ya=b即可
1.common solution應該不是存在x,y要滿足所有的a和b, 它是具相同解的意思, i.e.,ax=b,ya=b => x=y
2.題目所定義的a,b其實是G中"任意"元素的代號, 不是指單一個元素, 且它並沒有限定a不等於b, 也就是說當你證出了G具identity後, 將e=x=y代入後會得到b=a
感謝wynne~
謝謝wynne的指正~~
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