『 T:1-1 <==> 保獨立』 我這樣証可行嗎

我想問的是 保獨立==>T:1-1
這裡老師是用反証來証的，我想用直接証。
大家幫我看看，這樣的論述有沒有問題。
(下標字用成斜體字)
T: V->V' linear Suppose dim(V)=n Let {v1 v2 ... vn} is basis for V
For every x 屬於 ker(T) 屬於 V . 存在 a1 ... an 屬於 F s.t x =a1v1+ ... +anvn
==>T(x)=T(a1v1+ ... +anvn)=a1T(v1)+...+anT(vn)=0
因為 {v1 v2 ... vn} is LI => {T(v1) T(v2) ... T(vn)} is LI
所以 a1=a2=...=an=0 Then x=0v1+0v2+...+0vn=0
==> ker(T)={0} ==> T is 1-1